（整理版）高二数学期末复习二证明与复数人教实验（B）.doc

高二数学期末复习二：证明与复数人教实验版〔B〕【本讲教育信息】一、教学内容：期末复习二：证明与复数二、学习目标掌握用反证法来证明问题，理解数学归纳法的解题步骤；理解复数的有关概念；掌握复数的代数形式及运算法那么，能进行复数的加、减、乘、除运算三、考点分析1、〔1〕数学归纳法是一种证明与正整数n①验证当n取第一个值②假设当n=k特别注意：〔1〕用数学归纳法证明问题时首先要验证时成立，注意不一定为1；〔2〕在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，尤其要弄清由k到k+12、应用反证法证明的主要三步是：否认结论 → 推导出矛盾 → 结论成立实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；3、“否认形式〞、“至少〞或“至多〞、“唯一〞、“无限〞4、复数及分类形如的数叫做复数，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位，且满足5、复数相等的充要条件特别地6、共轭复数及其运算性质与互为共轭复数，且，它的运算性质有：，，7、复数的加法和减法8、复数的乘法和除法〔1〕复数的乘法按多项式相乘进行，即〔2〕复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化。

注：做复数除法运算时，有如下技巧：，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化典型例题】例1、实数m取什么数值时，复数z=m+1+〔m－1〕i是〔1〕实数？〔2〕虚数？〔3〕纯虚数？〔4〕对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+〔m－1〕i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴ 〔1〕m=1时，z是实数； 〔2〕m≠1时，z是虚数；〔3〕当时，即m=－1时，z是纯虚数；〔4〕当时，即m<－1时，z对应的点Z在第三象限例2、复数z满足|z－2|=2，z+∈R，求z.解：设z=x+yi，x，y∈R，那么z+=z+，∵ z+∈R，∴ =0，又|z－2|=2，∴〔x－2〕2+y2=4，联立解得，当y=0时， x=4或x=0 〔舍去x=0， 因此时z=0〕，当y≠0时， ， z=1， ∴ 综上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1－i.例3、用数学归纳法证明：〔〕能被64整除证明：当时，能被64整除，假设，能被64整除当时， ∵ 与64均能被64整除∴ 及也能被64整除，所以由〔1〕〔2〕可知当注：数学归纳法证明整除问题例4、，证明：.证明：用数学归纳法证明.〔1〕当时，左边=，右边，等式成立；〔2〕假设当时等式成立，即有：.那么当时，左边==右边；所以当时等式也成立.综合〔1〕〔2〕知对一切，等式都成立.思维点拨：〔1〕数学归纳法证明恒等式〔2〕仔细观察欲证等式的结构特征，在第二步证明当时向目标式靠拢是关键.例5、〔1〕，，求证：。

解析：假设，那么，∴， 即∴，∴或解得且或且，均与矛盾∴例6、证明是无理数证明：假设不是无理数，那么是有理数设，其中为互质的正整数，两边平方：那么是5的倍数，也是5的倍数，令为正整数，那么那么所以2是5的倍数，同样也是5的倍数那么这与为互质的正整数相矛盾，所以是无理数点评：“假设p那么q〞时，可能会出现以下三种情况：〔2〕导出q为真，即与假设“非q为真〞矛盾；〔3〕结论以“至多〞、“至少〞3. 使用反证法证明问题时，准确地作出反设〔即否认结论〕，是正确运用反证法的前提，常见的“结论词〞与“反设词〞列表如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p 或qp且q至多有n个至少有n+1个p 且qp或q【模拟试题】一、选择题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕1、数列的前n项和，且，通过计算猜 想〔 〕A、 B、 C、 D、2、a1=1，然后猜测〔 〕A、n B、n2 C、n3 D、3、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi〔x，y∈R〕是纯虚数，那么〔 〕A、甲是乙的充分非必要条件 B、甲是乙的必要非充分条件C、甲是乙的充分必要条件 D、甲是乙的既不充分，又不必要条件4、关于x的方程x2－〔2i－1〕x＋3m－i＝0有实根，那么实数m应取的值是〔 〕A、m≥－ B、m≤－ C、m= D、m=－5、设R+，，M分别表示正实数集，负实数集，纯虚数集，那么集合加{m2| m∈M}是〔 〕A、R+ B、R－ C、R+∪R－ D、R－∪{0}6、假设2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，那么实数m，n的值为〔 〕A、m＝4，n=－3 B、m=－4，n＝13C、m＝4，n=－21 D、m=－4，n＝－5二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分〕7、计算：i29+i30+ i31＋i32+……＋i250＝ .8、设m∈R，z＝〔2＋i〕m2－3〔1＋i〕m－2〔1－i〕，当m= 时，z∈R；当m= 时，z为纯虚数．9、设数列的前n项和为Sn，Sn=2n－an〔n∈N+〕，通过计算数列的前四项，猜测 .10、函数记数列的前n项和为Sn，且时，那么通过计算的值，猜测的通项公式 .三、解答题〔本大题共4题，共50分〕11、复数z满足|z|＝5，且〔3+ 4i〕z是纯虚数，求z．12、证明：＝1．13、是否存在正整数m使得对任意自然数n都能被m整除，假设存在，求出最大的m的值，并证明你的结论。

假设不存在，请说明理由14、：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径求证：弦AB、CD不被点P平分【试题答案】1、B2、B3、B4、C5、B6、B7、i－18、2或1；－9、 10、n+111、解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，模的定义及计算．设 z＝x＋yi〔x， y∈R〕， ∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25， 又〔3＋4i〕z=〔3＋4i〕〔x＋yi〕＝〔3x－4y〕+〔4x＋3y〕i是纯虚数，∴ ， 联立三个关系式解得，∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．12、解1：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等．设z＝a＋bi，〔a， b∈R〕，那么=.解2：∵ ，∴ =.13、证明：由得，，，，，由此猜测m=36下面用数学归纳法证明〔1〕当n=1时，显然成立〔2〕假设n=k时，f〔k〕能被36整除，即能被36整除；当n=k+1时，由于是2的倍数，故能被36整除，这就说，当n=k+1时，f〔n〕也能被36整除由〔1〕〔2〕可知对一切正整数n都有能被36整除，m的最大值为3614、证明：假设弦AB、CD被P平分，连结AD、BD、BC、AC因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形所以∠ACB=∠ADB，∠CAD=∠CBD因为四边形ACBD是圆内接四边形，所以∠ACB+∠ADB=180，∠CAD+∠CBD=180因此∠ACB=90，∠CAD=90所以，对角线AB、CD均为直径，这与条件矛盾，即假设不成立所以，弦AB、CD不被点P平分。