十双线性函数与辛空间.doc

第十章双线性函数与辛空间§1线性函数定义1设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映照，假如f满足1）f()f()f()2）f(k)kf(),式中,是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数.从定义可推出线性函数的以下简单性质：1.设f是V上的线性函数，则f(0)0,f()f().2.假如是1,2,,s的线性组合：k11k22kss那么f()k1f(1)k2f(2)ksf(s)例1设a1,a2,,an是P中任意数，X(x1,x2,,xn)是Pn中的向量.函数f(X)f(x1,x2,,xn)a1x1a2x2anxn(1>就是P上的一个线性函数.当a1a2an0时，得f(X)0,称为零函数，仍用0表示零函数.实质上，Pn上的任意一个线性函数都可以表成这类形式.令i(0,,0,1,0,,0),i1,2,,n.第i个Pn中任一直量X(x1,x2,,xn)可表成Xx11x22xnn.设f是Pn上一个线性函数，则nnf(X)f(xii)xif(i)i1i1令aif(i),i1，2，，n,则f(X)a1x1a2x2anxn就是上述形式.例2A是数域P上一个n级矩阵，设a11a12a1nAa21a22a2n,an1an2ann则A的迹Tr(A)a11a22ann是P上全体n级矩阵构成的线性空间Pnn上的一个线性函数.例3设VP[x],t是P中一个取定的数.定义P[x]上的函数Lt为Lt(P(x))p(t),p(x)P[x],即Lt(p(x))为p(x)在t点的值，Lt(p(x))是P[x]上的线性函数.假如V是数域P上一个n维线性空间.取定V的一组基1,2,,n.对V上任意线性函数f及V中任意向量：x11x22xnn都有nnf()f(xii)xif(i).(2>i1i1因此，f()由f(1),f(2),,f(n)的值独一确立.反之，任给P中n个数a1,a2,,an，用下式定义V上一个函数f：nnf(xii)aixi.i1i1这是一个线性函数，并且f(i)ai,i1,2,,n所以有定理1设V是P上一个n维线性空间，1,2,,n是V的一组基，a1,a2,,an是P中任意n个数，存在独一的V上线性函数f使f(i)ai,i1,2,,n.§ 2对偶空间设V是数域P上一个n维线性空间.V上全体线性函数构成的会集记作L(V,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数目乘法.设f,g是V的两个线性函数.定义函数fg以下：(fg)f()g(),V.fg也是线性函数：(fg)()f()g()f()f()g()g()(fg)()(fg)(),(fg)(k)f(k)g(k)kf()kg()k(fg)().f g称为f与g的和.还可以定义数目乘法.设f是V上线性函数，对于P中任意数k，定义函数kf以下：(kf)()k(f()),V,kf称为k与f的数目乘积，易证kf也是线性函数.简单检验，在这样定义的加法和数目乘法下，L(V,P)成为数域P上的线性空间.取定V的一组基1,2,,n，作V上n个线性函数f1,f2,,fn，使得fi(j)1,ji;i,j1,2,,n.(1>0,ji,由于fi在基1,2,,n上的值已确立，这样的线性函数是存在且独一的.对V中n向量xii，有i1fi()xi,(2>即fi()是的第i个坐标的值.引理对V中任意向量，有n)i,(3>fi(i1而对L(V,P)中任意向量f，有nff(i)fi.(4>i1定理2L(V,P)的维数等于V的维数，并且f1,f2,,fn是L(V,P)的一组基.定义2L(P,V)称为V的对偶空间.由<1）决定L(V,P)的的基，称为1,2,,n的对偶基.此后简单地把V的对偶空间记作V.例考虑实数域R上的n维线性空间VP[x]n，对任意取定的n个不一样实数a1,a2,,an，依据拉格朗日插值公式，获得n个多项式(xa1)(xai1)(xai1)(xan)pi(x)ai,i1,2,,n.(aia1)(ai1)(aiai1)(aian)它们满足1,ji;pi(aj),ji,j1,2,,n.0i,p1(x),p2(x),,pn(x)是线性没关的，由于由c1p1(x)c2p2(x)cnpn(x)0用ai代入，即得nckpk(ai)cipp(ai)ci0,i1,2,,n.k1又因V是n维的，所以1(x),p2(),,pn()是V的一组基.pxx设LiV(i1,2,,n)是在点ai的取值函数：Li(p(x))p(ai),p(x)V.i1,2,,n.则线性函数Li满足Li(pj(x))pj(ai1,ij;i,j1,2,,n.),0,ij,所以，L1,L2,,Ln是p1(x),p2(x),,pn(x)的对偶基.下边谈论V的两组基的对偶基之间的关系.设V是数域P上一个n维线性空间.1,2,,n及1,2,,n是V的两组基.它们的对偶基分别是f1,f2,,fn及g1,g2,,gn.再设(1,2,,n)(1,2,,n)A(g1,g2,,gn)(f1,f2,,fn)B此中a11a12a1nb11b12b1nAa21a22a2n,Bb21b22b2nan1an2annbn1bn2bnn由假设ia1i1a2i2anin,i1,2,,n,gib1jf1b2jf2bnjfn,j1,2,,n.所以ngj(i)bkjfk(a1i1a2i2anin)k1b1ja1ib2ja2ibnjani1,ij;j1,2,,n0,ii,j,由矩阵乘法定义，即得BAE即BA1定理3设1,2,,n及1,2,,n是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1,f2,,fn及g1,g2,,gn.假如由1,2,,n到1,2,,n的过渡矩阵为A，那么由f1,f2,,fn到g1,g2,,gn的过渡矩阵为(A)1.设V是P上一个线性空间，V是其对偶空间，取定V中一个向量x，定义V的一个函数x以下：x(f)f(x),fV.依据线性函数的定义，简单检验x是V上的一个线性函数，所以是V的对偶空间(V)V中的一个元素.定理4V是一个线性空间，V是V的对偶空间的对偶空间.V到V的映照xx是一个同构映照.这个定理说明，线性空间V也可看作V的线性函数空间，V与V实质上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的出处.由此可知，任一线性空间都可看作某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.§3双线性函数定义3V是数域P上一个线性空间，f(,)是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量,，依据f都独一地对应于P中一个数f(,).假如f(,)有以下性质：1）f。