中考数学满分之路五—瓜豆原理.pdf

中考数学满分之路第1页，共 7页中考数学满分之路（五） 瓜豆原理引例在平面直角坐标系中，(1,0)A，(0,3)B，过点 B 作直线 BCx 轴，点 P 是直线 BC 上的一个动点，以 AP 为边在 AP 右侧作 RtAPQ，使 APQ90 ，且:1:3AP PQ =，连接 AB，BQ，则 ABQ 的周长的最小值为_. 当我们对本题进行初步分析后，能较容易将“ 求 ABQ 周长的最小值” 转化为求 “ AQBQ 的最小值 * ，其中A，B 为定点， Q 为动点 ” ，进而联想到“ 河-岸” 模型，从而问题的关键转化为“ 求点 Q 如何运动 ” 注：有同学已经知道，此处可将AQBQ 打包转换出去，容易求解，后面会进一步说明所谓瓜豆原理，是我们在考虑一个动点如何运动时的一种思考方向观察下列图形中动点Q 如何运动？并尝试推广（比如：点Q 段 OP 上且13OQOP=，点 Q 如何运动？点Q 在 OP 的延长线上， OQ2OP，点 Q 如何运动？）点 O 为定点，点P 在定直线l 上运动，点Q 为线段 OP 的中点，点Q 如何运动？点 O 为定点，点P 在定圆 M 上运动，点Q 为线段 OP 的中点，点Q 如何运动？xyCQBAOPlQOPQMOP中考数学满分之路第2页，共 7页以下讨论的均为OQ 在 OP 绕点 Q 顺时针旋转 的方向。

点 O 为定点，点P 在定直线l（定圆 M）上运动， OQOP，且12OQOP=，则点 Q 如何运动？点 O 为定点， OQOP，且12OQOP=，若点 P 的运动路径为英文单词path，则点 Q 的运动路径什么？点 O 为定点， POQ且12OQOP=，点 P 在定直线l（定圆 M）上运动， OQOP，则点 Q 如何运动？瓜豆原理若点 O 为定点， POQ 为定角 ，OQOP为定值 k，则点 Q 与点 P 的运动路径相同. 需注意的是OQ 始终在 OP 绕点 O 顺时针旋转的方向上（或OQ 始终在 OP 绕点 O 顺时针旋转的方向上），即线段OQ 是由 OP 旋转放缩得来的. lQOPQMOPQOPlQOPQMOP中考数学满分之路第3页，共 7页引例在平面直角坐标系中，(1,0)A，(0,3)B，过点 B 作直线 BCx 轴，点 P 是直线 BC 上的一个动点，以 AP 为边在 AP 右侧作 RtAPQ，使 APQ90 ，且:1:3AP PQ =，连接 AB，BQ，则 ABQ 的周长的最小值为_. 当我们对本题进行初步分析后，能较容易将“ 求 ABQ 周长的最小值” 转化为求 “ AQBQ 的最小值 * ，其中A，B 为定点， Q 为动点 ” ，进而联想到“ 河-岸” 模型，从而问题的关键转化为“ 求点 Q 如何运动 ” 。

注：有同学已经知道，此处可将AQBQ 打包转换出去，容易求解，后面会进一步说明点 Q 如何运动？点 A 为定点， P AQ60 ， AQ2AP，点 P 在定直线BC 上运动，则点Q 在某条直线上运动. 至于在哪条直线上运动，需要抓住题目中不变的信息，即点A 到直线 BC 的距离不变 . 具体的处理方式如下：如图，过 A 作 AMBC 于点 M，作 MAN PAQ60 ，AN 在 AM 绕点 A 顺时针旋转60 的方向上，射线 AN 交直线 BC 于点 N，有 AMN APQ，进而 ANQ AMP，所以 ANQ AMP90 ，所以点Q 在过点 N 且与 AN 垂直的直线上运动.方法小结作出垂线段，构造旋转相似. 到此，会发现其实原题早已经给我们做好了一组旋转相似，连接OP，根据 ABQ AOP，将 AQ BQ 整体转化为2(APOP)，容易求解 .反思思路要灵活，不要固守于某个方法. 平时也要多积累各种作法. “ Most people are trained in one model-economics and try to solve all problems in oneway. You know the old saying: To the man with a hammer, the world looks like a nail. This is a dumb way of handling problems.” Charles T. MungerPoor Charlie s AlmanackxyCQBAOPCNMQBAPxyCQBAOP中考数学满分之路第4页，共 7页那么，点P 在定圆上运动时，我们又该如何确定点Q 在哪个定圆上运动呢？解决问题的关键仍然在于：抓住题目中不变的信息，具体如下：如图，点O 为定点，点P 在定圆 M 上运动，点Q 为线段 OP 的中点，点Q 如何运动？如图，点O 为定点，点P 在定圆 M 上运动， OQOP 且12OQOP=，点 Q 如何运动？这两个问题中，始终不变的是两个定点间的距离即OM 的长度以及M 的半径即MP 的长度 .对于，连接MP，OM，取 OM 的中点 N，连接 NQ，有12NQMP=，点 Q 在以 N 为圆心， NQ 为半径的圆上运动 .对于，如图，连接MP，OM，过 O 作 OM 的垂线，在垂线上取12ONOM=，有 ONQ OMP，相似比为 1:2，12NQMP=，点 Q 在以 N 为圆心， NQ 为半径的圆上运动. 注意，若 OQ 在 OP 绕点 O 顺时针旋转90 方向上，则ON 在 OM 绕点 O 顺时针旋转90 方向上 .方法小结连接定点，定半径，构造中位线或旋转相似. 核心为“抓住不变的信息”.QMOPQMOPNQMOPNQMOP中考数学满分之路第5页，共 7页1. 在 ABC 中，边 BC 上的高为1，点 D 为 AC 的中点，则BD 的最小值为 _.2. 如图，在ABCD 中，6 5BC =，对角线BD 10，1tan2DBC =，点 E 是线段 BC 上的一动点，连接DE，过点 D 作 DPDE，在射线DP 上取点 F，使得 DFE DBC，连接 CF，则 DCF 周长的最小值为_. 3. 如图，在等腰RtABC 中，2 2ACBC=，点 P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为 PC 的中点 . 当点 P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点 M 运动的路径长是_.4. 如图，在RtABC 中， ACB90 ，AC 8，BC6，点 D 是以 A 为圆心， 4 为半径的圆上的一动点，连接 BD， M 为 BD 的中点，则线段CM 长度的最大值为_. PFADBCEMACBPMBCAD中考数学满分之路第6页，共 7页5. 如图，在RtAOB 中， O 为坐标原点，90AOB =，60OAB =，若点 A 在反比例函数11yx=（0 x）的图象上运动，则点B 在某个函数的图象上运动，这个函数的解析式为_.（请写出自变量的取值范围 ）6. 如图，点 B 段AC上，点 D ， E 在AC同侧，90AC=， BDBE，3ADBC=，5CE =,点P 为线段 AB 上的动点，连接DP ，作 PQDP，交直线 BE 与点 Q ，当点 P 从 A 点运动到AC的中点时 ,线段 DQ 的中点所经过的路径（线段 ）长为 _.7. 正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 上一点，且BE1，F 为 AB 边上的一个动点，连接EF，以 EF 为边向右侧作等边EFG，连接 CG，则 CG 的最小值为 _.xyBOAQEDCBAPGEDABCF中考数学满分之路第7页，共 7页8. 矩形 ABCD 中， AB6，BC9，E 在边 BC 上，将 AEC 沿 AE 翻折，得到AEF，点 G 段 AE上， ABG CBF ，则 DG 的最小值为 _.9. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是对角线AC 上一动点，连接BE，以 BE 为边作 RtBEF，90BEF =，EF2BE，连接 DF，当 BFD 最大时， CE 的长为 _. GFDACBEFDACBE。