高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理课件 新人教A版必修5.ppt

1 1.1 1.2 2　余弦定理1.了解余弦定理的推导过程,掌握余弦定理及其推论.2.能利用余弦定理解三角形,并判断三角形的形状.余弦定理 归纳总结1.余弦定理的每个等式中包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道其中的三个量,便可求得第四个量,即“知三求一”.2.余弦定理适用的题型:(1)已知三边求三角,用余弦定理,有解时只有一解;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他的角,用余弦定理,必有一解.3.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,是解三角形的重要工具.【做一做1】￿在△ABC中,a=4,b=4,C=30°,则c2等于￿(　　). 答案:A【做一做2】￿在△ABC中,a=2,b=5,c=6,则cos B等于(　　).答案:A 1.确定三角形中内角的范围 若A为锐角,则cos A>0,有b2+c2-a2>0,即b2+c2>a2;若A为直角,则cos A=0,有b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2;若A为钝角,则cos A<0,有b2+c2-a2<0,即b2+c2b2+c2.知识拓展a2=b2+c2⇒△ABC为直角三角形;a2>b2+c2⇒△ABC为钝角三角形;a20,即只能得到角A为锐角,但是不能保证角B,C也为锐角,所以不能得到△ABC为锐角三角形.2.利用正弦定理、余弦定理求角的区别剖析如表所示.题型一题型二题型三题型四题型五已知两边及夹角解三角形【例1】￿在△ABC中,已知a=2,b分析思路一:可先用余弦定理求边c,再用正弦定理求角A,最后用三角形内角和定理求出角B.思路二:可先用余弦定理求边c,再用余弦定理的推论求角A,最后用三角形内角和定理求出角B.题型一题型二题型三题型四题型五∵0°a,∴B>A.∴角A为锐角.∴A=30°.∴B=180°-(A+C)=135°.题型一题型二题型三题型四题型五又0°a,c>a,∴a最小,即A为锐角.因此A=45°.故C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.题型一题型二题型三题型四题型五已知三边解三角形 分析利用余弦定理的推论求出两个角,利用三角形的内角和定理求出第三个角.解由余弦定理的推论,∵A,B∈(0,π),∴A=60°,B=45°.∴C=180°-A-B=180°-60°-45°=75°.题型一题型二题型三题型四题型五反思已知三边解三角形的步骤:(1)分别用余弦定理的推论求出两个角;(2)用三角形内角和定理求出第三个角.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】￿在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,试求AC边上的中线长.解由余弦定理和已知条件,题型一题型二题型三题型四题型五已知两边及一边的对角解三角形【例3】￿在△ABC中,已知b=3,c题型一题型二题型三题型四题型五解法二(利用余弦定理)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,即a2-9a+18=0,解得a=6或a=3.反思当已知两边和其中一边的对角解三角形时,若用余弦定理先求第三边,可根据求出值的正、负,利用边为正值确定无解、一解,还是两解,极易判断,不易漏解;若用正弦定理先求另一边的对角时,需要根据角、边的大小和正弦值的情况判断解的情况,以免漏解.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】￿在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, A.1B.2C.2或-1解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得c2-c-2=0,解得c=2或c=-1(舍去).答案:B题型一题型二题型三题型四题型五判定三角形的形状【例4】￿在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C,试判断△ABC的形状.分析思路一,利用正弦定理将已知等式化为角的关系;思路二,利用余弦定理将已知等式化为边的关系.R2sin2Bsin2C=R2sin Bsin Ccos Bcos C.∵sin Bsin C≠0,∴sin Bsin C=cos Bcos C.∴cos Bcos C-sin Bsin C=0.即cos(B+C)=0.∴B+C=90°.∴A=90°.∴△ABC为直角三角形.题型一题型二题型三题型四题型五解法二将已知等式变为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccos Bcos C.由余弦定理,得整理得b2+c2=a2.故△ABC为直角三角形.题型一题型二题型三题型四题型五反思判定三角形的形状,主要看其是不是等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.依据边角关系判断时,主要有两条途径:(1)利用正弦定理转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,这时要注意使用“A+B+C=π”这个结论.也可利用正弦定理完全转化为边的关系,再通过变形,从而判断三角形的形状.(2)利用余弦定理转化为边之间的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】￿在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.解法一由正弦定理及余弦定理,整理得,(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,故a2+b2-c2=0或a2=b2,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.题型一题型二题型三题型四题型五解法二由正弦定理,知原等式可化为(sin A-sin Ccos B)·sin B=(sin B-sin Ccos A)sin A,整理得sin Ccos Bsin B=sin Ccos Asin A.∵sin C≠0,∴sin 2B=sin 2A.∴2A=2B或2B=π-2A,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 题型一题型二题型三题型四题型五易错辨析易错点:忽略三角形各边满足的条件致错【例5】￿在钝角三角形ABC中,a=1,b=2,c=t,且C是最大角,求t的取值范围.错解∵△ABC是钝角三角形,且C是最大角,∴C>90°,错因分析错解忽略了两边之和大于第三边,即a+b>c这个隐含条件,导致t的取值范围变大.题型一题型二题型三题型四题型五正解∵a,b,c是△ABC的三边,∴b-a