《基本不等式（一）》示范公开课教学课件【高中数学人教A版必修第一册】.pptx

不等式的性质基本不等式（一）问题1请同学们阅读课本第44页，说一说本节我们将要学习的内容是什么？在不等式中起着怎样的作用？答案：类比代数式运算的研究，学习了一般运算之后，就要探索其特殊关系，这些特殊关系往往具有重要作用，比如乘法公式等等那么学习了不等式的性质，我们就要尝试探索一些特殊的不等式基本不等式它是一种重要而基本的不等式类型，与乘法公式在代数运算的地位一样，在解决不等式问题中有重要的作用，它之所以被称为“基本不等式”，主要是因为它可以作为不等式论的基本定理，成为支撑其他许多非常重要结果的基石一、整体感知一、整体感知重要不等式：a2b22ab基本不等式表明两个正数的算术平均数不小于几何平均数如果a0，b0，用 代替a，b，得到：当且仅当ab时取等号几何平均数代数平均数基本不等式1基本不等式的定义问题2阅读教科书第44页，回答什么是基本不等式？它是怎样得到的？二、新知探究1基本不等式的定义追问不等式中a，b的取值范围是什么？它和原不等式中的范围一样吗？为什么？答案：a，b均为非负数只有a，b均为非负数，才能用代替a2+b22ab中的a，b二、新知探究2基本不等式的证明问题3你能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？请你试一试追问1我们学习过充分条件和必要条件，你能否从需要求证的式子出发，寻找使不等式成立的充分条件，从而形成证明思路？二、新知探究2基本不等式的证明答案：要证，要证，只要证要证，只要证要证，只要证要证，只要证显然，成立，当且仅当a=b时，中的等号成立每一个“只要证”都是“要证”成立的充分条件，那么只要把过程倒过来，就可直接推出基本不等式了（不等式性质4）（不等式性质3）（完全平方公式）（不等式性质4）追问2上述证明中，每一步推理的依据是什么？过程：执果索因分析法二、新知探究2基本不等式的证明追问3上述的证明方法叫做“分析法”你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？相比以前常用的证明方法（综合法“执因索果”），说说“分析法”的优势是什么？答案：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止分析法常用于证明已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要哪些知识不太明确具体的情况这时可以尝试从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件二、新知探究2基本不等式的证明追问4根据教科书上的证明过程，你能说说分析法的书写格式是怎样的吗？答案：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证只要证”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然成立”二、新知探究 解：半径OD为 ，可得弦DE长的一半CD为 ，由CDOD，得到 几何解释问题4如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？3.基本不等式的几何解释圆的半径不小于任意一条弦的长度的一半二、新知探究二、新知探究4.基本不等式的简单应用例1已知x0，求 的最小值追问1一个实数y0满足哪些条件才能作为的最小值？答案：需要满足两个条件：（1）x00，使得y0=x0+；（2）对x0，使得x+y0 二、新知探究4基本不等式的简单应用追问2本题中代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求它的最小值？如果能？如何求？答案：代数式是x与的算术平均数的2倍，且x与的几何平均数是个定值，所以可以利用基本不等式求解解：因为x0，所以，当且仅当时，即x2=1，x=1时，等号成立因此所求的最小值为24基本不等式的简单应用追问3在上述求解过程中，是否必须说明“当且仅当时，即x2=1，x=1时，等号成立”？答案：必须说明这才可以说明“2”是“ ”的一个取值二、新知探究 反思：结合函数的图象及例1的解答，你能总结什么条件的代数式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？xyO注意：在利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”的条件二、新知探究4基本不等式的简单应用追问4以下是例1三道变式题的求解过程，你认为是否正确？若不正确，错在哪儿？为什么？依此你能总结满足什么条件的代数式能用基本不等式求最值吗？二、新知探究 4基本不等式的简单应用变式（1）已知x0，求的最小值解：因为x0，所以，当且仅当时，即x2=1，x=1时，等号成立因此所求的最小值为2答案：变式（1）解答错误，当x0，b0二、新知探究4基本不等式的简单应用（2）已知x2，求的最小值解：因为x2，所以，当且仅当时，即x2=1，x=1时，等号成立因此所求的最小值为2答案：变式（2）解答错误，因为x2时，2的等号不成立，“2”不是“ ”的一个取值，所以2不是的最小值二、新知探究4基本不等式的简单应用（3）已知x1，求的最小值解：因为x1，所以，当且仅当时，即x=2时，等号成立因此所求的最小值为4答案：变式（3）解答错误，当x=时，所以显然4不是所求的最小值因为中不是定值用基本不等式求一个代数式的最小值，必须先得到这个代数式大于或等于某个定值恒成立，然后再判断能否取到等号二、新知探究4基本不等式的简单应用用基本不等式求最值的条件：代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的积或者和是否是一个定值，不等式的等号是否能取到，通俗的说，就是代数式是否满足或者转化后满足“一正二定三相等”若满足，就可以用基本不等式求最值答案：变式（3）正解：因为x1，所以，当且仅当，x=时，等号成立，所以所求的最小值为二、新知探究 4基本不等式的简单应用例2已知x，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2；（2）如果和x+y 等于定值S，那么当x=y 时，积xy 有最大值解：因为x，y 都是正数，所以（1）当积xy 等于定值P时，所以，当且仅当x=y 时，等号成立则当x=y 时，和x+y 有最小值2（2）当和x+y 等于定值S 时，所以，当且仅当x=y 时，等号成立则当x=y 时，积xy有最大值二、新知探究 三、归纳总结问题5本节课我们主要学习了基本不等式，请同学们回顾今天所学内容，思考以下问题：（1）什么是基本不等式？基本不等式的证明方法是什么？（2）基本不等式的代数特征是什么?如何从几何图形上进行解释？（3）基本不等式可以解决哪两类数学问题？应注意什么？（4）你能在前两课时的基础上，继续补充本单元的知识结构图吗？答案：（1）通常称（a0，b0）为基本不等式其中叫做正数a,b的算术平均数，叫做a，b的几何平均数基本不等式的证明方法是分析法“执果索因”的证明方法；（2）代数特征：不等式一边是两个正数的和的一半，一边是两个正数乘积的算术平方根；几何解释：圆的半径不小于任意一条弦的长度的一半；（3）若代数式能转化为两个正数积为定值，可以利用基本不等式求和的最小值；若代数式能转化为两个正数和为定值，可以利用基本不等式求积的最大值在利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”的条件三、归纳总结（4）延续前两个课时，这三节课的研究方法和内容的结构图如下：特殊 化三、归纳总结敬请各位老师提出宝贵意见！。