高考数学圆锥曲线典型例题(必考).pdf

1 高考数学圆锥曲线典型例题(必考 ) 9.1 椭圆 典例精析 题型一求椭圆的标准方程 【例 1】已知点 P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P到两焦点的距离分别为 45 3 和 25 3 ，过 P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为 x 2 5 3y 2 10 1 或 3x 2 10 y 2 51. 【点拨】 (1) 在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定 时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx 2ny21(m 0，n0 且 m n)；(2) 在求椭圆中的 a、b、c 时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练 1】已知椭圆 C1的中心在原点、 焦点在 x 轴上，抛物线 C2的顶点在原点、 焦点在 x 轴上. 小明从曲线 C1，C2上各取若干个点 (每条曲线上至少取两个点 )，并记录 其坐标 ( x，y). 由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2 上. 小明的记录如下： 据此，可推断椭圆C1的方程为. x 2 12 y 2 6 1. 题型二椭圆的几何性质的运用 【例 2】已知 F1、F2是椭圆的两个焦点， P为椭圆上一点， F1PF 260. (1) 求椭圆离心率的范围； (2) 求证： F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关 . 【解析】 (1) e 的取值范围是 1 2，1).(2) 21F PFS 1 2mn sin 60 3 3 b 2， 【点拨】椭圆中 F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理， 面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质 ) 与不等式的联合使用，如 2 | PF1| | PF 2| ( | PF1| | PF 2| 2 ) 2，| PF 1| ac. 【变式训练 2】已知 P 是椭圆 x 2 25 y 2 9 1 上的一点， Q ，R分别是圆 ( x4) 2y21 4和圆 ( x4) 2 y 21 4上的点，则 | PQ | | PR | 的最小值是 . 【解析】最小值为9. 题型三有关椭圆的综合问题 【例 3】(2010 全国新课标 )设 F1，F2分别是椭圆 E：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右 焦点，过 F1斜率为 1 的直线 l 与 E相交于 A，B两点，且 | AF 2| ，| AB | ，| BF2| 成等差数列 . (1) 求 E的离心率； (2) 设点 P(0 ，1) 满足| PA | | PB | ，求 E的方程 .(1) 2 2 .(2 )为 x 2 18 y 2 91. 【变式训练 3】已知椭圆 x 2 a 2y 2 b 21(ab0)的离心率为 e，两焦点为 F1 ，F 2，抛物 线以 F1为顶点， F2为焦点， P为两曲线的一个交点，若 | PF1| | PF2| e，则 e 的值是 ( ) A. 3 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 6 3 【解析】选 B 题型思有关椭圆与直线综合问题 【例 4】 【2012 高考浙江理 21】如图，椭圆 C： 22 22 +1 xy ab ( ab0)的离心率为 1 2 ，其左 焦点到点 P(2 ，1)的距离为10不过原点 O的直线 l 与 C相交于 A，B两点，且线段 AB 被直线 OP平分 ()求椭圆 C的方程； () 求ABP的面积取最大时直线l 的方程 . 3 【变式训练 4】 【2012 高考广东理 20】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C1： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率 e= 2 3 ，且椭圆 C上的点到 Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆 C的方程； （2）在椭圆 C上，是否存在点 M （m,n）使得直线 l ：mx+ny=1与圆 O ：x 2+y2=1相交于不 同的两点 A、B，且 OAB 的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的 OAB 的面 积；若不存在，请说明理由 总结提高 1. 椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在 解题时要防止遗漏 . 确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上( 即定位) ，还 要确定 a、 b 的值( 即定量 )，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx 2ny21(m 0，n0，m n) 求解. 2. 充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会 利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理. 3. 焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手， 且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围. 练习 1（2009全国卷理）已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为 F , 右准线为 l ，点 Al ，线段 AF 交C于点 B，若3FAFB uuu ruu u r , 则|AF uuuu r =( ) A. 2 B. 2 C.3 D. 3选 A .2 （2009 浙江文）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F ，右顶点为 A，点 B 在 椭圆上，且 BFx 轴， 直线 AB 交 y 轴于点 P若2APPB uuu ru uu r ，则椭圆的离心率是 （） A 3 2 B 2 2 C 1 3 D 1 2 【答案】 D 4 3. （2009 江西卷理）过椭圆 22 22 1 xy ab (0ab) 的左焦点 1 F作 x轴的垂线交椭圆于点 P ， 2 F为右焦点，若 12 60F PF o ，则椭圆的离心率为 A 2 2 B 3 3 C 1 2 D 1 3 【答案】 B 4.【2012高考新课标理 4】设 12 F F是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，P为直 线 3 2 a x上一点， 12PF F是底角为30 o 的等腰三角形，则E的离心率为（） ()A 1 2 ()B 2 3 ()C()D【答案】 C 5【2012 高考四川理 15】椭圆 22 1 43 xy 的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、 B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是 _ 。

【答案】 3 6【2012 高考江西理 13】椭圆 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右顶点分别是A,B, 左、右焦 点分别是 F1， F2 若 1 AF ， 21F F， BF1成等比数列，则此椭圆的离心率为 _. 【答案】 5 5 【例 4】 【解析】 ()： 22 +1 43 xy ()易得直线 OP的方程：y 1 2 x，设 A(xA ，y A) ，B(xB ，y B) ， R ( x0 ，y 0) 其中 y0 1 2 x0 22 0 22 0 +1 2333 43 4422 +1 43 AA ABAB AB ABAB BB xy xyyxx k xxyyy xy 设 直 线 AB 的 方 程 为 l ： y 3 2 xm( m 0) ， 入 椭 圆 ： 22 22 +1 43 3330 3 2 xy xmxm yxm - 显然 222 (3)43(3)3(12)0mmm12 m 12且 m 0由上又有： AB xxm ， AB yy 2 3 3 m 5 | AB | 1 AB k | AB xx| 1 AB k 2 ()4 ABAB xxx x1 AB k 2 4 3 m 点 P(2 ，1)到直线 l 的距离表示为： 312 11 ABAB mm d kk S ABP 1 2 d| AB | 1 2 | m 2| 2 4 3 m ， 当| m 2| 2 4 3 m ， 即 m 3 或 m 0(舍去) 时，(S ABP)max 1 2 此时直线 l 的方程y 31 22 x 【 变 式 训 练4 】 【 解 析 】 （ 1 ） 设 22 cab由 22 22 33 c eca a ， 所 以 22221 3 baca 设( ,)P x y是椭圆 C上任意一点，则 22 22 1 xy ab ， 所以 2 2222 2 (1)3 y xaay b 2222222 |(2)3(2)2(1)6PQxyayyya 当1b时，当1y时，|PQ有最大值 2 63a，可得3a，所以 1,2bc 当1b时， 22 6363PQab不合题意 故椭圆 C 的方程为： 2 2 1 3 x y （2）AOB中，1OAOB， 11 sin 22 AOB SOAOBAOB 当且仅当90AOB时， AOBS 有最大值 1 2 ， 90AOB 时，点O到直线 AB 的距离为 2 2 d 22 22 212 2 22 dmn mn 又 2222 31 33, 22 mnmn，此时点 62 (,) 22 M 。

6 9.2 双曲线 典例精析 题型一双曲线的定义与标准方程 【例 1】已知动圆 E与圆 A：( x4) 2 y 22 外切，与圆 B：( x4)2 y 22 内切， 求动圆圆心 E的轨迹方程 . 【解析】 x 2 2 y 2 141( x 2). 【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结 合双曲线定义求解，要特别注意轨迹是否为双曲线的两支. 【变式训练 1】P为双曲线 x 2 9 y 2 161 的右支上一点， M ，N分别是圆 ( x5) 2 y 24 和 ( x5) 2 y 21 上的点，则 | PM | | PN | 的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】 选 D. 题型二双曲线几何性质的运用 【例 2】双曲线 C：x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)的右顶点为 A，x 轴上有一点 Q (2 a, 0)， 若 C上存在一点 P，使PQAP?0，求此双曲线离心率的取值范围. 【解析】 (1， 6 2 ). 【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值 范围的常用方法 . 【变式训练 2】设离心率为 e 的双曲线 C：x 2 a 2y 2 b 21( a0，b0) 的右焦点为 F，直 线l过焦点F， 且斜率为 k， 则直线l 与双曲线 C的左、 右两支都相交的充要条件是 ( ) A.k 2 e 21 B.k 2 e 21 C.e 2 k 21 D.e 2 k 21【解析】 ，故选 C. 题型三有关双曲线的综合问题 【例 3】(2010 广东 )已知双曲线 x 2 2 y 21的左、右顶点分别为 A 1 、A 2，点 P(x1 ，y 1) ， Q ( x1，y1) 是双曲线上不同的两个动点. (1) 求直线 A1P 与 A2Q交点的轨迹 E 的方程； (2) 若过点 H (0 ，h)( h1)的两条直线 7 l1 和 l 2与轨迹 E都只有一个交点，且l1 l 2，求 h 的值. 【解析】 (1) 轨迹 E的方程为 x 2 2 y 21， x0且 x 2.(2) 符合条件的 h 的值为3 或2. 【变式训练 3】双曲线 x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为 e， 过 F2的直线与双曲线的右支交于 A，B两点，若 F1AB是以 A为直角顶点的等腰直角三 角形，则 e 2 等于( ) A.122 B.322 C.422 D.5 22 【解析】故选 D 总结提高 1. 要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意 不同点，如 a，b，c 的关系、渐近线等 . 2. 要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件. 当| PF1| | PF2| 2a| F1F2| 时，P 的轨迹是双曲线；当| PF1| | PF2| 2a| F1F2| 时， P 的轨迹是以F1或 F2为 端点的射线；当 | PF1| | PF2| 2a| F1F2| 时，P无轨迹. 3. 双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下 两个问题： (1) 已知双曲线方程，求它的渐近线； (2) 求已知渐近线的双曲线的。