2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二上学期阶段测试（期中）数学试卷（三）（含答案）.docx
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2024-2025学年黑龙江省龙东地区高二上学期阶段测试（期中）数学试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.抛物线y2=x的准线方程是( )A. x=−12 B. x=−14 C. y=−12 D. y=−142.若椭圆焦点在x轴上且经过点−4,0，焦距为6，则该椭圆的标准方程为( )A. x216+y28=1 B. x216+y27=1 C. x29+y216=1 D. x27+y216=13.在空间直角坐标系O−xyz中，点P(−2,3,1)到x轴的距离为( )A. 2 B. 3 C. 5 D. 104.若直线l:kx−y+4+2k=0与曲线y= 4−x2有两个交点，则实数k的取值范围是( )A. kk=±1 B. {k|k<−34}C. {k|−1≤k<−34} D. {k|−1≤k<34}5.已知双曲线C:x23−y24=1的左顶点为A1，右焦点为F2，虚轴长为m，离心率为e，则( )A. A1−3,0 B. F21,0 C. m=2 D. e= 2136.P,Q分别是抛物线x2=2y和x轴上的动点，M(2,−1)，则|PM|+|PQ|的最小值为( )A. 5 B. 52 C. 5 D. 27.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为 5−12，把 5−12称为黄金分割数．已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y2( 5−1)2=1的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为( )A. 2 5−2 B. 5+1 C. 2 D. 2 58.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2，直线l过点F2且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若PF1⋅PF2=0，则C的离心率为( )A. 3 B. 2 C. 5 D. 3二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.已知圆O1的方程为x−a2+y−b2=4，圆O2的方程为x2+y−b+12=1，其中a，b∈R.那么这两个圆的位置关系可能为( )A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切10.已知曲线C的方程为x2m+y22−m=1，则( )A. 当m=1时，曲线C表示一个圆B. 当0
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知圆E经过点A0,0,B1,1，且被直线mx−y−m=0m∈R平分．(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程．16.(本小题15分)已知动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点P到定直线x=−2的距离相等，若动点P的轨迹记为曲线C．(1)求C的方程；(2)不过点F的直线与C交于横坐标不相等的A，B两点，且AF+BF=6，若AB的垂直平分线交x轴于点N，证明：N为定点．17.(本小题15分)如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点．(1)求直线FC1到直线AE的距离；(2)求直线FC1到平面AB1E的距离．18.(本小题17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，短轴长为2 3，点M(− 3,− 32)在C上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点A(0,3)，点G为椭圆C上一点，求▵AGF2周长的最大值；(3)过C的左焦点F1，且斜率不为零的直线l交C于P､Q两点，求▵F2PQ面积的最大值．19.(本小题17分)过双曲线y=kx(常数k>0)上任意一点A作AE//x轴，交y轴于点E，作AF//y轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S=k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，并证明你的推广．参考答案1.B 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.A 8.C 9.ABD 10.ACD 11.BD 12.2 357或27 35 13.3 14.23；23 15.(1)直线mx−y−m=0恒过点1,0．因为圆E恒被直线mx−y−m=0m∈R平分，所以mx−y−m=0恒过圆心，所以圆心坐标为1,0，又圆E经过点A0,0，所以圆的半径r=1，所以圆E的方程为(x−1)2+y2=1，即x2+y2−2x=0．(2)设Mx,y.因为M为线段AP的中点，所以P2x,2y，因为点P是圆E上的动点，所以(2x)2+(2y)2−2×2x=0，即x2+y2−x=0，所以M的轨迹方程为x2+y2−x=0． 16.(1)因为动点P(x,y)到定点F(2,0)的距离与动点P到定直线x=−2的距离相等，所以动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，此时p=4，则曲线C的方程为y2=8x；(2)证明：设直线AB的方程为x=ty+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立y2=8xx=ty+m，消去y并整理得y2−8ty−8m=0，此时Δ=64t2+32m>0，解得2t2+m>0，由韦达定理得y1+y2=8t，y1y2=−8m，因为|AF|+|BF|=x1+x2+4=6，所以x1+x2=2，因为x1+x2=t(y1+y2)+2m=2，所以8t2+2m=2，解得4t2+m=1，设点M为AB的 中点，此时M(1,4t)，所以直线MN的方程为y−4t=−t(x−1)，令y=0，解得xN=5．故点N为定点，坐标为(5,0)． 17.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(1,1,1)，E0,0,12，F1,1,12，C1(0,1,1)，A(1,0,0)．因为AE=−1,0,12，FC1=−1,0,12， 所以AE//FC1，即AE // FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离． u=AE|AE|=−2 55,0, 55， AF=0,1,12. AF2=54，AF⋅u= 510， 所以直线FC1到直线AE的距离为 54− 5102= 305．(2)因为AE // FC1， AE ⊂平面AB1E， FC1⊄平面AB1E， 所以FC1 //平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离． C1B1=(1,0,0)，AB1=(0,1,1)，设平面AB1E的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB1=0,n⋅AE=0, 即y+z=0,−x+12z=0,取z=2，可得n=(1,−2,2)， 所以C1到平面AB1E的距离为|C1B1⋅n||n|=13， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为13． 18.解：(1)依题意，b= 3，且3a2+34b2=1，解得a=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(2)由(1)知，F1(−1,0),F2(1,0)，而A(0,3)，则|AF1|=|AF2|= 10，▵AGF2周长|AF2|+|AG|+|GF2|=|AF2|+|AG|+4−GF1⩽|AF2|+|AF1|+4=2 10+4，当且仅当点G是线段AF1的延长线与椭圆C的交点时取等号，所以▵AGF2周长的最大值为2 10+4； (3)设直线l的方程为x=ty−1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，由x=ty−13x2+4y2=12 ，消去x得：(3t2+4)y2−6ty−9=0，显然Δ>0，y1+y2=6t3t2+4,y1y2=−93t2+4，|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= (6t3t2+4)2+363t2+4=12 t2+13t2+4，因此▵F2PQ面积S=12|y1−y2|⋅|F1F2|=12 t2+13t2+4=123 t2+1+1 t2+1，令u= t2+1≥1，3 t2+1+1 t2+1=3u+1u，显然函数y=3u+1u在[1,+∞)上单调递增，则当u=1，即t=0时，3 t2+1+1 t2+1取得最小值4，则Smax=3，所以当t=0时，▵F2PQ面积取得最大值3． 19.推广结论：设A是双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上任意一点，过点A分别作渐近线bx±ay=0的平行线AE、AF，并分别交渐近线于E、F，得到平行四边形AEOF，则平行四边形AEOF的面积S是与点A位置无关的常数．证明：设Ax0,y0，直线AE的方程为y−y0=−ba(x−x0)，联立方程组y−y0=−ba(x−x0)y=bax，解得交点E(ay0+bx02b,ay0+bx02a)，则OE= (ay0+bx02b)2+(ay0+bx02a)2=cay0+bx02ab，点A到OE的距离d=bx0−ay0 b2+a2=bx0−ay0c，平行四边形AEOF的面积S=OE×d=cay0+bx02ab×bx0−ay0c=b2x02−a2y022ab，又因为点Ax0,y0在双曲线x2a2−y2b2=1上，所以x02a2−y02b2=1，即b2x02−a2y02=a2b2，所以S=a2b22ab=12ab，是与点A位置无关的常数． 第8页，共8页。
