第六节不定方程.doc

第六节　不定方程所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组不定方程也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系不定方程的重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地的数学竞赛吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题在本节我们来看一看不定方程的基础性的题目基础知识1．不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）2．解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。

以下给出几个关于特殊方程的求解定理：（一）二元一次不定方程（组）定义1.形如(不同时为零)的方程称为二元一次不定方程定理1.方程有解的充要是；定理2.若，且为的一个解，则方程的一切解都可以表示成为任意整数)定理3.元一次不定方程，()有解的充要条件是.方法与技巧：1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解若有解，可先求一个特解，从而写出通解当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2．解元一次不定方程时，可先顺次求出，……，.若 ，则方程无解；若|，则方程有解，作方程组：求出最后一个方程的一切解，然后把的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解3．个元一次不定方程组成的方程组，其中，可以消去个未知数，从而消去了个不定方程，将方程组转化为一个元的一次不定方程二）高次不定方程（组）及其解法1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；2．同余法：如果不定方程有整数解，则对于任意，其整数解满足，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；4．无限递降法：若关于正整数的命题对某些正整数成立，设是使成立的最小正整数，可以推出：存在，使得成立，适合证明不定方程无正整数解。

方法与技巧：1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾三）特殊的不定方程1．利用分解法求不定方程整数解的基本思路：将转化为后，若可分解为，则解的一般形式为，再取舍得其整数解；2．定义2：形如的方程叫做勾股数方程，这里为正整数对于方程，如果，则，从而只需讨论的情形，此时易知两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解定理3.勾股数方程满足条件的一切解可表示为：，其中且为一奇一偶推论：勾股数方程的全部正整数解（的顺序不加区别）可表示为：其中是互质的奇偶性不同的一对正整数，是一个整数。

勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决3．定义3.方程且不是平方数)是的一种特殊情况，称为沛尔(Pell)方程这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程的研究，其中都是整数，且非平方数，而它主要用于证明问题有无数多个整数解对于具体的可用尝试法求出一组成正整数解如果上述pell方程有正整数解，则称使的最小的正整数解为它的最小解定理4.Pell方程且不是平方数)必有正整数解，且若设它的最小解为，则它的全部解可以表示成：.上面的公式也可以写成以下几种形式：（1）；（2）；（3）.定理5.Pell方程且不是平方数)要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解，且在后一种情况下，设它的最小解为，则它的全部解可以表示为定理6. （费尔马（Fermat）大定理）方程为整数)无正整数解费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱典例分析例1．求不定方程的整数解解：先求的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：，， 将上述过程回填，得：由此可知，是方程的一组特解，于是，是方程的一组特解，因此原方程的一切整数解为：。

例2．求不定方程的所有正整数解解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并移项得：因为是整数，故也一定是整数，于是有，再用5去除比式的两边，得，令为整数，由此得经观察得是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：，所以原方程的一切整数解为：例3．求不定方程的正整数解解：显然此方程有整数解先确定系数最大的未知数的取值范围，因为的最小值为1，所以当时，原方程变形为，即，由上式知是偶数且故方程组有5组正整数解，分别为，，，，；当时，原方程变形为，即，故方程有3组正整数解，分别为：，，；当时，原方程变形为，即，故方程有2组正整数解，分别为：，；当时，原方程变形为，即，故方程只有一组正整数解，为故原方程有11组正整数解（如下表）：246810246242131074196352111111222334例4．求出方程的所有正整数解解：先求最小解令当时，；当时，；当时，所以的最小解为，于是：例5．在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上的整点的个数为多少个？解：设为圆上任一整点，则其方程为：；显然为方程的4组解但当时，（因为199是质数），此时，是一组勾股数，故199可表示为两个正整数的平方和，即。

因为，可设，则这与199为型的质数矛盾！因而圆O上只有四个整点例6．求所有满足的正整数三元组解：两边取，得，所以是偶数，再得，所以也是偶数此时令于是，由可知：；由唯一分解定理：，，从而注意到17是奇数，所以要使成立，一定有当时，在的两边取，得，这显然是不成立的，所以，从而故方程只有唯一的一组解（2，2，2）例7．是一个给定的整数，当为何值时，的方程有正整数解？在有正整数解时，求解该不定方程解；若有质数，，则，从而，矛盾！所以因此当且仅当因为，显然，所以当且仅当1）若时，，所以或，或；（2）类似地，若，则，所以或，或；（3）由于条件（*），不妨设； 若，则，所以； 若，则因为，所以存在，使得：，所以，因为，所以必有所以，故所以，所以或当时，；当时，，对应的为1或2由条件（*）知以及也是原方程的解，对应的整数为14或9综上，当时原方程有整数解，它们分别是：（3，1），（5，2）；（2，1），（5，3），（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）例8．求证：边长为整数的直角三角形的面积不可能是完全平方数证明：假设结论不成立，在所有的面积为平方数勾股三角形中选取一个面积最小的，设其边长为，则是平方数，则必有。

因为，故存在整数中一奇一偶，，使得（不妨设是偶数）由于是完全平方数，而知两两互素，故它们是平方数，即，所以即因为是奇数，易知，于是与中有一个是，另一个是，而；另一方面，得所以，以为边的三角形都是直角三角形，其面积等于是平方数，但是，于是构造出了一个面积更小的勾股三角形，矛盾！参考文献1．奥林匹克数学中的代数问题 冷岗松 沈文选 唐立华等著 湖南师范大学出版社2．数学奥林匹克教程 张军著 湖南师范大学出版社3．高中数学竞赛2000题 虞金龙著 浙江大学出版社4．中国华罗庚学校数学课本 周敏泽著 吉林教育出版社5．奥林匹克小从书数学竞赛中的数论问题 熊斌 余红兵著编后语本书是作者在山东省济宁一中奥林匹克竞赛班时所编写的教材，由于时间较为仓促，作者水平有限，许多地方编写地不尽如人意，未尽事项请大家谅解！另外，本书参考了大量的方献资料，在此向文献的作者表示感谢！再者，本来本书应配有习题，可是由于作者的计算机水平有限，再加之时间紧迫，所以所有的习题，都是我用手写完成的，未能向大家列出，向大家致歉！贾广素于山东济宁2006年9月6日星期三。