“递进式问题链”在数学课堂教学中的应用——基于中考一轮复习课“旋转”的教学过程及感悟.pdf

责任编 辑 彭 深 E m a il ： 2 0 2 0 7 4 8 3 3 4 @ q q ．c o rn l 教学探究 “ 递进式问题链“ 在数学课堂教学中的应用 基于中考一轮复 习课“ 旋转” 的教学过程及感悟 ■刘春云 摘 要 基于“ 问题驱动思维 ” 的教学理念 ， 科学合理地创设具 有逻辑关联 、 螺旋上升的递进式 问题链 ， 有助于激发学生主动探究的热情 ， 使学生在获得数学知识和数学解题方法的 同时 ， 逐步形成解决问题的能力 关键词 递进式问题链 复 习课 “ 问题是数学 的心脏 ” ， 没有 问题就没有数 学 ， 数学教学应该是以不断地提出问题， 并解决 问题的方式来获取知识、 发展思维 而“ 递进式 问题链 ” ， 就是指教师在课堂教学 中， 按 照由易 到难 、 由特殊 到一般 、 由局部到整体 、 由直观到 抽象 ， 科学合理地创设一系列问题 ， 形成一个螺 旋上升 的“ 问题链” ， 促使学生在设 问和体验 的 过程中 ， 形成 自主学习的动机和欲望 ， 在分析和 解决问题 的过程中 ， 获得知识和方法 ， 逐步形成 解决 问题的能力， 从而达成教学 目标 。

一 、教学过程 1 ． 问题 引领 ． 回顾 旋转 人们常说 “ 一年之 计在 于春” ， 同理 ， “ 一课 之 计在于始” ， 良好 的开端是成功的一半 课堂 导入的方式很多 ， 最重 要的宗 旨就是 引起 学生 的注意力和兴趣 ， 而递进 式问题链 的运用就 是 以学生原有认知为基础 ， 逐步展开 、 引 申， 循序 渐进地设置问题 ， 经历平滑过渡的阶段 ， 从而激 起学生探究的兴趣 教学片断 l 教师 ： 同学们， 现在有一张带网格的直角坐 标系( 如图1 ) ， 你觉得最方便在图中找到什么? 学生： 横纵坐标为整数的点 教 师 ： 好 !那 就 请 同学 们找 出点 A( 一 2 ， 一 4 ) ( 学生找 出点A 后 ， 期待地看着老师 ) 教师 ： 我想将点A 旋转一下 ， 还需要知道什 么? 学生 1 ： 还要知道旋转 中心 、 旋转方向 、 旋转 角度 教师 ： 很好!说明旋转有三要素： 旋转中 心 、 旋转方向 、 旋转角度 ( 教师板书 ) 教师 ： 将点A绕原点 0逆时针旋转 9 0 得到 点4 ( 学生画图 ) 教师 ： 你知道点A 经过的路径长吗? 学生 2 ： 根据点A旋转前后到点 0的距离不 变， 所 以点4 所经过的路径是以点 0 为圆心 ， O A 长( 即2 ) 为半径， 9 0 。

为圆心角的一条弧 ， 算 出来是 霄 ( 教师板书“ 旋转性质 1 ： 对应点到旋转 中心 的距 离相等” ) 教师 ： 继续画出点 B ( 1 ， 一 1 ) 绕原点 0 逆时针 旋转 9 0 P 的对应点 ， 再想想点 B经过 的路径长 是多少 ( 学生画图 ) 教师： 你能画出线段A B 所扫过的图形， 并算 出面积吗? 学生 3 ： 扫过 的图形是一个不规则图形 ， 但 4 3 教学探究 l 可以转化成规则图形计算面积 用扇形 O A A与 △O A ， 之和减去扇形 0 船 与 AO A B 之和 ， 根据 旋转角相等， 可以证明△ 与 AO A B全等， 因 此面积相等 ， 相互抵 消， 只要算出两个扇形面积 之差即可 ( 教师板 书 ： “ 旋转性质 2 ： 对应点与旋转 中 心所连线段 的夹角相等 ， 即旋转角” ) 教师 ： 很好 !如果A 、 曰两点都是绕点 0 旋转 3 6 0 ， 点A的路径又是什么?线段A B扫过的图 形又是什么呢? 学生 4 ： 点 的路径是半径为 O A的Oo， 线 段A B 扫过的图形是半径为O A与半径为 O B 的两 个00问的圆环 。

教师 ： 我们继续画出点 C ( O ， 一 4 ) 绕原点 O逆 时针旋转 9 0 的对应 点 c ， 连接A B、 B C 、 C A得到 AA B C ， 连接 A 、 B， C 、 C 'A 得 到 △ A ，c ( 学生 画图 ) 请问， 这两个三角形有何关系?又是通 过怎样的变换得到的? 学生 5 ： 这两个三角形全等 ， 而且 △4 ℃堤 由AA B C 绕原点 0 逆时针旋转9 0 得到的 ( 教 师 板书： “ 旋转性质3 ： 旋转前后的图形全等” ) 教师 ： 你知道 △ A B C 所扫过的面积吗? 学生6 ： △A B C 所扫过的面积是刚才A B 扫过 的面积与△A ， c 咱 勺 面积之和 教师 ： 至此 ， 在旋转过程 中 ， 我 们不但知道 点旋转所经过 的路径 ， 而且还知道线段旋转所 扫过 的面积 ， 以及 三角形旋 转所扫 过的面 积 非常棒 ! 教师： 在你手中的这幅图中， 如果只有AA B C 和 △A C ， 你能找出旋转中心吗? 学生7 ： 由旋转的性质 1 可知， 只要画出线段 A 、 曰B 、 C C 中任意两条 的垂直平分线 ， 得到 的交点即为旋转中心。

( 教 师板 书“ 旋转中心在每对对应点所连 线 段的垂直平分线上” ) 中考一轮 复 习课 ， 既要注 重知识点的复 习 巩 固， 又 要兼顾 学生思维能力的培养 如何把 这类复 习课上得不枯燥无 味 ， 如何激起学生 的 兴趣 ， 是 我 们一 线教 师一 直在 不断 思考 的问 题 这节课 的导入 ， 运用 了“ 递进式问题链” ， 通 过由浅入深 、 由局部到整体的螺旋式提问， 最终 形成图 1 这样一个整体 ， 既达到复 习旋转三要素 及三 个性质 的 目的 ， 又揭示 了研究数学图形的 通 法 ： 由点到线 ， 再 由线到面 ， 同时在求不 规则 图形面积 时 ， 还 渗透 了转 化的数学 思想方法 整个 弓 1 入复 习过 程 ， 学 生 有 着 浓 厚 的兴趣 以及 强 烈 的求 知 欲 ， 犹 如嗷 嗷待哺 的婴 儿期待看母亲 的 乳汁似的等待 着 教 师 新 的 问题 充满了期待 的课 堂 ， 充 满 了 活 力 Y B 0 、＼ C ： 、 ＼ 、 ， 、 ． 曰 、 、 、 ／ l | 、 -，， 图 1 的课堂， 教学效果就不言而喻了。

2 ． 拓展应用， 深化理解 教学片断2 教师 ： 这里有一组“ 手拉手 ” 的等边三 角形 ( 如 图2 、 3 、 4 ) ， 现考 查一下大家的眼力 ， 请在各 图中的五个 点间连 接两条线 ， 构造一对全等三 角形 学生 8 ： ．连 接A D、 C E ， 得 到 AA B D和 AC B E 全等 ， 判定理 由是“ 边角边” 教师 ： 这对全等 的三 角形 可以通过怎样的 旋转 得到呢? ( 再 次巩 固旋转的三要素 ， 学生回 答略 ) 教师 ： 若直线A D与 C E的交点为 F ， 你知道 Z A F C 的度数吗? ( 尽 管图形位置有变， 但处理 问 题 的方法不 变， 在此渗 透类 比思想 ， 学生 回答 略 图2 图 3 图4 教师 ： 鉴于图形 的特殊性 ， 我们还可以进一 步设置 问题如图 5 ， 在等边AA B C内有一点 P ， P A = 5 ， P B = 3 ， P C = 4 ， 则幼 P c 是多少度? ( 学生轻 松 作答 ) 教师 ： 若我们推广开去 ， 如图6 、 7 ， 在正方形 A B C D和 正六边形 A B C D E F内各有 点P， 你能求 出A B PC吗? ( 此处设置的问题链 ， 既是对 图5的 拓展延 伸 ， 也是想让学 生明白如何将零散的 线 段集 中到同一个三角形 中去解决问题 ， 同时， 也 是想向学生说 明， 旋转不仅仅是 一种 图形变换 ， 也可以作为一种解题方法。

) D 图 5 图 6 图 7 此处从 两条线路设置递进式问题链展开课 堂研 讨 ， 旨在进 一步深 化旋转 三要 素 、 旋转 性 质 ， 以及旋转的应用 ， 既开 阔了学生 的视野 ， 让 学生 了解到旋转可 以作为一种解题途径 ， 通 过 旋转可 以将零 散 的线段集 中到某一 个三角形 中 ， 从而使 问题得 以解决 ， 又渗透 了类 比思想 ， 达到让学生“ 会一题 、 通一类” 的目的 二√L 点体会 1 ． 递进式 问题链 的设计要“ 承上启 下” 设计递进式问题链 ， 要根据学生已有的认 知结构以及身心特点， 循序渐进地设置问题， 必 须有承上启下之功效 无论是新课 ， 还是 复习 课 ， 都应该先对学生 已有 的知识基础 和学 习能 力有个清晰的掌握 ， 然后巧妙地设置 问题 ， 激 发 学生去主动参与、 主动探 究同时 ， 还应该使设 置的递进式问题链有个适 中的梯度 ， 让学生跳 一跳才能摘到果子， 逐步把学生的最近发展区 转变成现 实发展区 ， 最终使学生的数学知识和 思维能力都得到有效发展 I 教学探究 2 ． 复 习课的导入形式要 高效到位。

布鲁纳说过 ： “ 思维永远是从问题开始的 ” 如果教师依然采用程 式化的复习方 式 ， 那么就 很难 调动学生的积极性 ， 同时也很难唤醒学生 沉睡的知识基于此 ， 本课例的设计是将 知识 点蕴 藏于问题链之 中 ， 由点旋转 ， 到线段旋转 ， 再到三角形旋转 ， 一步步唤醒学生对旋转概念 、 旋转 性质的记忆 ， 再进一步求 由旋 转引起 的路 径长 、 扫过的图形面积整个 引入 是环环相扣 地呈现的 ， 学生始终带着期待 ， 带着浓厚 兴趣 ， 于是 课堂就 有了活力 ， 真正达到激 活学生复习 基础知识的效果 3 ． 中考一轮复习的设计要精准定位 一轮复 习应以基础知识为主线 ， 反馈矫正 为辅助 ， 能力培养为 目标 因此， 我们要对 目标 达成度 、 知识容量和思维容量做一 个梳理 和编 排 ， 力求做 到精细化复 习， 切实落实“ 低起点 、 小 坡度 、 大容量 、 高效益 ” 的复习指导思想， 确保学 生在夯实基础知识 的同时 ， 有足够 的思维强度 ， 最终达到提升数学能 力的目标 ， 同时还应兼顾 数学方法 、 数学思想的渗透 三、 结束语 真正优秀 的数学教师 ， 在课堂教学中 ， 不会 局限于知识点 的传授 ， 也不会仅仅局限于某一 问题 的解决 ， 而是更加重视数学思维 的训练和 提升。

因此， 无论是新授课， 还是复习课， 我们 都应该做到对教学内容进行重组， 根据学生身 心特点 ， 设置精炼 、 高效 的问题 ， 培养学生 良好 的思维品质 递进式 问题链的设计 ， 应从一个 简单知识点或一个简单问题出发 ， 通过引申、 拓 展 ， 引导学生去联想 、 探索 ， 探究 出某类 问题的 内在联系 ， 进 而提升学生 由此及彼 的思维迁移 能力 ， 更 为学 生知识 的获得和思维 的发散提供 广阔的发展空间 ( 作者为江苏省无锡市前洲中学教师) 45 。