广西（燕博园）2021-2022学年高三3月综合能力测试（CAT）理科数学答案.docx

数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的答对每题5分）1.已知集合，集合，则集合A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】易得，，所以.2.在复平面中，复数对应的点的坐标为，则的对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，所以.对应点位于第四象限.3.已知直线，，若，则实数的值是A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】由题可知，解得或. 4.已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，且角与角的终边关于直线对称.若，则的值为A. B.C. D.【答案】C【解析】由题可知，所以.5. 某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图：甲地区乙地区由茎叶图所给信息，可判断以下结论正确的是A.若，则甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差B.若，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数C.若，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数D.若，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差【答案】D【解析】若，则甲乙两地区考核得分的极差都是，故A错；若，则甲地区考核得分的平均数为，乙地区考核得分的平均数为，故B错；若，则甲地区考核得分的中位数为，乙地区考核得分的中位数为，故C错；若时将甲乙两地各企业考核得分按从小到大顺序排列如下：甲地区：；乙地区：观察数据可知甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，选D.6．“双减”政策实施以来各地纷纷推行课后服务“”模式，即学校每周周一至周五这天要面向所有学生提供课后服务，每天个小时.某校计划按照“”模式开展“学业”，“体育锻炼”，“实践能力培养”三类课后服务，并且每天只开设一类服务，每周每类服务的时长不低于小时，不高于小时，那么不同的安排方案的种数为A. B.C. D.【答案】C【解析】第一种情况是某类服务6个小时，其余两类服务各2个小时，共种；第二种情况是某类服务2个小时，其余两类服务各4个小时，共种；综上不同的安排方案共有种.选C7. 过原点的直线与双曲线（）交于两点，是双曲线的左焦点，过作轴的垂线，交双曲线于两点，若段上存在点，使得，则双曲线离心率的最小值是A. B.C. D.N【答案】B【解析】，由题知.故需要，解得.8. 如图，函数（）的图象经过点和点，则A.的周期为 B.图象关于点中心对称C.图象关于直线对称-1D.在区间单调递增【答案】D【解析】由题可知，当时，.故D正确.9.已知函数 f(x)=2x,x⩾2,(x−1)3,x<2, 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 则实数 k 的取值范围为.A. (0,1)B. (−∞,1)C. (0,1]D. (0,+∞)【答案】作出函数 y=f(x) 的图象如图. 则当 0

答对每空5分）13.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴正半轴上.为上一点，且比到轴的距离多，则抛物线的标准方程为____________.【答案】【解析】由题，所以.14.在中，，，，则的值为____________.【答案】【解析】因为， .所以.所以.所以.所以.即.由正弦定理，所以.15.已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, 延长 CD 至 E, 使得 CD=DE, 若点 F 为线段 BC 上的动点, 则 AF⋅EF 的最小值为___________. 【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系,则 E(−1,1),F(1,y),(0⩽y⩽1),所以 EF=(2,y−1),AF=(1,y),则 EF⋅AF=2+y(y−1)=y2−y+2=y−122+74.所以当 y=12 时, EF⋅AF 取最小值 74.16.已知首项为的无穷数列满足，并且 （），为数列的前项和，对于给定的正整数，给出下面四个结论：①当为奇数时，有种可能的取值；②当为偶数时，可能是等差数列；③当为奇数时，的最大值是；④当为偶数时，的最大值是其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】由题可得，即或.因为，所以或.又因为，所以.同理或.所以只有种可能取值，故①错误.对于②，可取数列为，显然满足当为偶数时，是等差数列，故②正确.因为，故③错误.当时，因为，所以.所以.当时，因为，所以.因为，所以.综上无论如何都有.故.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答一）必考题：共60分17. （12分）已知等差数列的公差，为其前项和，，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求.【答案】（Ⅰ）由题意可得：解得：，所以.（Ⅱ）因为，所以.则.18. （12分）如图，在三棱柱中，平面，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的长.【答案】（Ⅰ）由三棱柱可得四边形是平行四边形，又，所以平行四边形是菱形.所以.又因为平面，所以.又，所以.， 所以平面.所以.因为，所以平面.因为平面.所以.（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知平面，又平面，所以三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系.设，则，，.设平面法向量为.又，所以.取，可得.显然平面的法向量因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，所以.即.两边平方可得，所以.19. （12分）某校高三年级有男生1800人，女生1200人.为了解学生本学期参与社区志愿服务的时长，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，并按“男生”和“女生”分为两组，统计他们参与社区志愿服务的时长，再将每组学生的志愿服务时间（单位：小时）分为5组：，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.男生组女生组（Ⅰ）从全年级学生中随机选取一位学生，估计该生社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的概率；（Ⅱ）从样本中男生组和女生组各随机选取一位学生，记其中参与社区志愿服务不小于30小时的人数为，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本的男生中随机抽取3人，调查发现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10小时.据此数据能否推断本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了？说明理由.【答案】（Ⅰ）首先由分层抽样可得100名学生中，男生人数为，女生人数为.又由直方图中所有小长方形面积之和为1，可得.所以男、女生中社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的人数分别为，.由此可估计从全年级学生中随机选取一位学生，该生社区志愿服务时间大于等于10小时并且小于20小时的概率为.（Ⅱ）由题可知的所有可能取值为.记“所取男生的社区志愿服务不小于30个小时”，“所取女生的社区志愿服务不小于30个小时”.则，故，.所以的分布列为.（Ⅲ）假设本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数与上学期相比没有减少.即上学期这60位男生中社区志愿服务小于10小时的人数不超过.则从样本的男生中随机抽取3人，调查发现这3人上学期参加社区志愿服务的时长均小于10个小时的概率不超过.答案1 可以认为本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.这是一个小概率事件，但是却发生了，由此可以推断本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.答案2 不能确定本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.虽然这是一个小概率事件，但是仍有发生的可能，因此不能确定本学期样本中男生参与社区志愿服务时长小于10小时的人数相比上学期减少了.20. （12分）椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上顶点和右顶点.为坐标原点，且的面积为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；（Ⅱ）直线过点，与椭圆在第一象限交于点，第四象限交于点.直线分别与直线交于点.比较和的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）由题可得且.所以.又，所以.故椭圆方程为.离心率.（Ⅱ）显然的斜率不能为，设，与椭圆联立得：所以.设，则.又直线的方程为，令，可得.同理.记，则..即.而，故大于.21. （12分）已知函数，.（Ⅰ）若时，求的所有单调区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的范围.【答案】（Ⅰ）当时，求导得.当，且k≥0时，；当，且k≥0时，；又由于是奇函数，所以的单调递减区间是，且k≥0或，且；的单调递增区间是，且或，且k≥0.（Ⅱ）对求导得.① 当时，时，，所以，单调递减.此时.而，所以.不合题意.② 当时，变化时变化如下表↗极大值↘此时在上最大值为.即.而，所以.又.所以符合。