立体几何 选填压轴最值(1).pdf

专题专题 最值最值最值处理方法基本分为两类，一类是位置最值，另一类是函数最值类型一类型一 位置最值位置最值例 1 已知A,B是球O的球面上两点,AOB 90,C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC体积的最大值为 36,则球O的表面积为（）【答案】144例 2【答案】C【思路】先找到 p 所处的线段，然后用正切，对不变，斜越小越好.例 3（2017 大连双基考试 20170302）16 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，过正方体ABCD A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为s，则s的取值范围是_【答案】6,22例 4（2019 哈三中开学考文科）【答案】4【提示】找到截面面积最小的位置即可，属于位置最值问题类型二类型二 函数最值函数最值例 1（2018 辽宁五校联考 第 16 题）如图，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，BAC，AB AC A已知G1A1，2与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）若GD EF，则线段DF的长度5的取值范围是_【答案】,25【解析】如图，以A为原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.A0,0,0，E0,1,1 1，G,0,1，Fx,0,0，D0,y,0，22x2 y2GD EF，x2y 1 0，DF 212y2 y22215，当y 1时，（不包含端点故y 1不能5y，当y 时，DFmin5555取2），DFmax 2，DF长度取值为5,252,AB AC A1A 1，例 2.如图，在直三棱柱A1B1C1 ABC中，BAC 已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）.若GD EF，则线段DF的长度的取值范围5是【答案】,15例 3 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为 O，D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥3当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_答案】4 15【解析】如下图，设正三角形的边长为x，1333x xFG SG 5x，则OG 3266333225 5SO h SG GO 56x6x32211331535455x5x x.三棱锥的体积V SABCh 3343123355 34x433x，则nx 20 x x，令nx 0，4x 0，x 4 3，令bx 5x 333475485 4 4 15.12例 4如图 1，ACB=45，BC=3，过动点 A 作 ADBC，垂Vmax足 D 段 BC 上且异于点 B，连接 AB，沿 AD 将ABD 折起，使BDC=90（如图2 所示），当 BD 的长为多少时，三棱锥 ABCD 的体积最大【解答】设 BD=x，则 CD=3xACB=45，ADBC，AD=CD=3x折起前 ADBC，折起后 ADBD，ADCD，BDDC=DAD平面BCDVABCD=ADSBCD=（3x）x（3x）=（x 6x+9x）设 f（x）=（x36x2+9x）x（0，3），f（x）=（x1）（x3），f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数当 x=1 时，函数 f（x）取最大值当 BD=1 时，三棱锥 ABCD 的体积最大；例 5（2018 长春一模理科）16已知圆锥的侧面展开图是半径为3 的扇形，则圆锥体积的最大值为【答案】2 3【解析】设圆锥的底面圆半径为r(0 r 3)，有圆锥的高为9r2，从而圆锥的体积为3211V r29r29r4r6，令t r2(0 t 9)，有33y 9t2t3,y 3t218t 3t(t 6)，当0t 6时函数时函数为减函数，从而当t 6时体积取最大值2 3.1V 9t2t3，令3为增函数，当6t 9例 6（2016 沈阳二模理科）已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为【答案】2 33例 7（2018 沈阳一模文科）已知正四棱锥S ABCD中，SA 6 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为【答案】6例 8 已知球 O 的半径为 1，点 A,B,C 是球大圆上的任意三点，点P是球面上的任意一点，则三棱锥P ABC的最大体积为_.【答案】例 9 设 A,B,C,D 四点是半径为3 的球面上四点，则三棱锥A BCD的最大体积为_.【答案】8 3补充补充：还有一类利用点的轨迹的几何意义：还有一类利用点的轨迹的几何意义例 134【答案】12 3【提示】阿波罗尼斯圆定义例例 2 2 设点是棱长为 2 的正方体的平面内，若平面分别与平面和平面的棱的中点，点 在面所在所成的锐二面角相等，则点 到点的最短距离是（）A.B.C.1 D.【答案】A在平面，则距离为，则平行且与直线距离为的直线上，上的射影为，平面与平，【解析】设 在平面面和平面上的射影为成的锐二面角分别为，设 到，即点 在与直线到第 3 题的最短距离为，故选 A.【提示】F点轨迹为抛物线。