根据递推关系求数列的通项公式.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下五种类型： ??1.通项与和，通项与积???an与Sn?an与Tn???累加：an?an?1?f(n)??2.累加，累乘??累乘:an?f(n)???an?1???对常数分拆：an?1?can?p??3.待定系数法?对an?1?can?kn??n分拆：??同除以?n?1或同除以cn?1：ann?1?can?k??????对中间项系数分拆：an?2?pan?1?qan（p?q?1)????4.倒数法?型一：?an?1?kancan?p????型二：anan?1?pan?qan?1?0??5.对数法：acakn?1?n (c?0,an?0)取以c(或a1)为底的对数降次 ?（一）.知an与Sn的关系求通项 Sn和Tn分别是数列{an}的前n项的和与积 型一： a?S1(n?1)n???S?S?2 nn?1(n)【方法一】： “Sn?Sn?1”代入消元消an，【方法二】： 写多一项，作差消元消Sn。

留神】漏检验n的值 (如n?1的处境) ?T1(n?1) 型二： a?n??T?n(n?2 ?T)n?1【方法一】：“TnT”代入消元消an， 【方法二】：写多一项，作商消元消Tn n?1【留神】漏检验n的值 (如n?1的处境) 【例1】.（1）已知正数数列{an}的前n项的和为Sn，且对任意的正整数n得志 2Sn?an?1，求数列{an}的通项公式 （2）数列{an}中，a1?1对全体的正整数n都有a1?a2?a23??an?n，求数列 {an}的通项公式 【例2】.已知数列{an}，{bn}中，对任何正整数n都有： an1b1?ab2?2ab3?3?anbn?(n?1?)2? 1若数列{bn}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式. 【作业一】 1－1.数列?ann?得志a1?3a2?32a3??3n?1an?3(n?N*)，求数列?an?的通项公式． 1－2.已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且得志a3a6?55，a2?a7?16 (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若数列{ab1b2bnn}和数列{bn}得志等式：an?2?b322?23??2n(n?N?)，求数列{bn}的通项公式 1 1－3.（2022广州一模文数）已知数列?an?得志对任意的n?N*，都有an?0， 【例4】.（2022广东高考文数）在数列{an}中，a1?1,an?1?(1?)an?1ann?1b?.设，nn且a32n1?a32??a3n??a1?a2??an?． （1）求求数列{abn}的通项公式 1，a2的值；（2）求数列?an?的通项公式an 【作业二】 （二）.累加、累乘 型如an?an?1?f(n), ana?f(n) 2－1. (1)已知数列?an?得志an?1?an?3?22n?1，且a1?2，求an. n?1型一：aa ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） (2) 已知数列?a1n?n?1?f(n)n?得志an?1?an?ln(1?n)，且a1?2，求an. 【方法】an?an?1?f(n)，an?1?an?2?f(n?1)，??，a2?a1?f(2) n?2，an?a1?f(n)?f(n?1)??f(2)，检验n?1的处境 a 型二：na?f(n)，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） n?1 【方法】n?2，an2－2. (1)已知数列a?an?1??a2?f(n)?f(n?1)??f(2) ?an?得志an?1?2nan，且a1?1，求an. n?1an?2a1(2)数列?an?中，Sn是数列的前n项和，若Sn?n2an，a1?1，求 即an a?f(n)?f(n?1)??f(2)，检验n?1的处境 1 【小结】一般处境下，“累加法”（“累乘法”）里只有n?1个等式相加（相乘）. 【例3】. (1) 已知a1 1?2，an?an?1?1n2?1(n?2)，求an. （2）已知数列?an n?得志an?1?n?2a?2n，且a13，求an. 2－3.已知a1?1，a1n n?1?2an?2n?1，求an. 2 2nan. 三）.待定系数法 型一：an?1?can?p （c,p为非零常数,c?1,p?1） 【例7】. （1）已知a1?1，an?1?2an?2n，求an. （2）（2022年广东高考19）设数列{an}的前n项和为Sn，得志2sn?an?1?2n?1?1， 【方法】构造an?1?x?c(an?x)，即an?1?can?(c?1)x， 故(c?1)x?p， 即{apn?c?1}为等比数列 型二：an?1?can?kn （c,k为非零常数,c?1） 【方法】分拆n 设x,y，得志：an?1?x(n?1)?y?c(an?xn?y) 整理，得an?1?can?(c?1)xn?(c?1)y?x ?k 即，??x??(c?1)x?k?(c?1)y?x?0 ??c?1?k ??y?(c?1)2 数列{akkn?c?1n?(c?1)2}为等比数列 型三：an?1?can?k??n （c,k为非零常数,c?1） 除幂变换 【方法】分拆?n，两边同除以?n?1 得， an?1cankan?1cank?n?1??n?1??，即?n?1????n??， 若c??，??an???n??为等差数列；若c??时，转化为型一求解 型四：an?2?pan?1?qan (p、q为非零常数，且p?q?1) 【方法】an?2?(1?q)an?1?qan，即an?2?an?1??q(an?1?an)， 数列{an?1?an}为等比数列，再用累加法可求。

【例5】. a1?1，an?1?2an?3，求数列{an}的通项公式 【例6】. 已知a1?1，an?1?3an?2n?1，求an. n?N*，且a1，a2?5，a3成等差数列 （1） 求a1的值；求数列{an}的通项公式 【例8】. 已知an?2?2an?1?3an?0，a1?1,a2?5，求an. 【作业三】 3－1.数列?an?中，an?1?3an?5，a1?2，求an. 3－2.数列?an?中，an?1?3an?2n?3,a1?1，求通项公式an. 3－3.数列?ann?中，an?1?2an?2?3,a1?1，求通项公式. 3－4.（2022年高考文数）设数列{an}得志a1?1，a2?2，(n?3,4,，求数列){an}的通项公式. 3 a1n?3(an?1?2an?2) 3－5. （2022年高考理数）设数列{an}得志 x1?1,x2?31,xn?xn?1?xn?2(n?3,4?),求{xn}的通项公式. 44【作业四】 4－1.已知a1?1，an?1? 4－2.设函数f(x)?f(x1)?an，求an. 2?2an (四).倒数法 kana? 型一：n?1 (k,p,c为非零常数) can?p1p1c???, 转化为待定系数法求解 【方法】两边取倒数，得 an?1kankx，方程x?f(x)有唯一解，其中实数a为常数， a(x?2)2，f(xn)?xn?1 (n?N?), 求f(x)的表达式，并求xn. 2022 型二：canan?1?pan?qan?1?0 (c,p,q为非零常数) 111?q??0，转化为数列{}，再求解 【方法】两边同除以anan?1，得c?p?anan?1an【例9】. 已知数列{an}的首项为a1?，an?1?式 【例10】. 已知数列{an}得志：a1?，an?1?an??2anan?1，求a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式。

2n?1?an【例11】.已知数列?an?得志an?1?，且a1?2，求an. n?1an?212353an，n?1,2,2an?1，求{an}的通项公 4－3.已知数列得志a1?1，an?1?an?anan?1 (n?2)，求an. (五)．.对数法（取对数降次） k型如： an?1?can (c?0,an?0) k 【方法】两边取以c(或以a1)为底的对数，得logcan?1?logc(can)，即 log，locgc?klog1kloa，再用待定系数法求解数列can?1?canlogcan?1??cgn {locgan的通项公式}【例12】. 已知a1?2，an?1?an，求an. 4 根据递推关系求数列的通项公式参考答案 【例1】【解】（1）∵2Sn?an?1，∴4Sn?(an?1)2,4Sn?1?(an?1?1)2， 那么当n?2时， 4an?an2?2an?an?12?2an?1，即(an?an?1)(an?an?1?2)?0，而an?0， ∴an?an?1?2(n?2), 即{an}为等差数列，又2S1?a1?1,?a1?1,?an?2n?1 (2)解：a1?a2?a3?② 3?（2）由于a13?a23?那么有a13?a23?an??a1?a2??an?， ① ?an?an?1?． ② 22233?an?an?1??a1?a2?3②－①，得an?1??a1?a2??an?an?1???a1?a2??an?， 22由于an?0，所以an?1?2?a1?a2?2同样有an?2?a1?a2??an??an?1． ③ ?an?n ① a1?a2?a3?2 ?an?1?(n?1) (n?2)n?1n?22?an?1??an?n≥2?， 。