8解析几何-1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案 (2).doc

公众号：高中数学课堂教学研究 群：376299293 李先源整理784671801981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编解析几何部分2019A 4、设为椭圆G 的长轴顶点，为G 的两个焦点，, , 为G上一点，满足，则的面积为 ．◆答案： ★解析：设椭圆G的方程为（），则，可知，,所以，又，所以，即为直角，进而得面积为2019A 10、在平面直角坐标系中，圆与抛物线恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点．求圆的半径．★解析：易知的焦点的坐标为．设圆 的半径为() ．由对称性，不妨设在轴上方与轴相切于，故的方程为①，将代入消去得，显然，所以②由于圆与轴相切于的焦点．则②恰有一个正数解，由于当且仅当，即时取等号，接下来，当及时，产生不唯一解，所以仅有符合2019B 7. 在平面直角坐标系中，若以为圆心、为半径的圆上存在一点满足，则的最小值为 ．◆答案： ★解析：由条件知，故，即有解，所以，解得经检验，当时，时满足条件，所以的最小值为2019B 9. （本题满分16分）在椭圆中， 为一个焦点，为两个顶点．若,，求的所有可能的值。

★解析：不妨设平面直角坐标系中椭圆的标准方程为（），并记．由对称性，可设为的右焦点．知到椭圆的左顶点的距离为，到椭圆的右顶点的距离为，到上下顶点的距离均为，⑴A,B分别为左、右顶点．此时，故；⑵A为左顶点，B为上顶点或下顶点．此时，，故；⑶A为上顶点或下顶点，B为右顶点．此时，，故；综上的所有可能的值为2018A 4、在平面直角坐标系中，椭圆（）的左右焦点分别是，椭圆的弦与分别平行于轴和轴，且相交于点，已知线段的长分别为，则的面积为 ◆答案：★解析：由对称性，不妨设点在第一象限，则，即进而可得，，代入椭圆方程解得：，，从而2018B 6、设抛物线的准线与轴交于点，过点作一直线与抛物线相切于点,过点作的平行线，与抛物线交于点，则的面积为为 ◆答案： ★解析:设直线与的斜率为，，分别联立抛物线方程得到：（），和 （）对（）由得；对（）得所以2017A 3、在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，是的焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积最大值为 ◆答案： ★解析：由题意得，，设点的坐标为，其中，则，可得面积最大值为。

2017B 7、设为非零实数，在平面直角坐标系中，二次曲线的焦距为，则实数的值为 ．◆答案： ★解析：二次曲线方程可写成，显然必须，故二次曲线为双曲线，其标准方程为，则，注意到焦距，可知，又，所以.2018A 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，设是抛物线的过点的弦，的外接圆交抛物线于点（不同于点）．若平分，求的所有可能值★解析：设，，，由已知条件知两两不等且不为0.设直线的方程为，由得，知，①设外接圆的方程为，由得，知该四次方程的根即为，由根与系数关系得，即，②又平分，由角平分线定理得，结合①②所以即，⑴当时，，此时，得与重合，舍去⑵当时，由①得，得，所以这样的是存在的，对应的也是存在的所以2018B 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中， 与分别是椭圆（）的左、右顶点与上、下顶点．设是椭圆上且位于第一象限的两点，满足，是线段的中点，射线与椭圆交于点.证明：线段能构成一个直角三角形★证明:设点的坐标为，由于，则，又，所以，故存在实数，使得,，此时点的坐标可以分别表示为，由于点在椭圆上，所以，化简整理得，则，（）因此，， ,线段能构成一个直角三角形。

2017B 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，曲线，曲线．经过上一点作一条倾斜角为的直线，与交于两个不同的点，求的取值范围★解析：设，则直线的方程为，代入曲线的方程得，，化简可得：①，由于与交于两个不同的点，故关于的方程①的判别式为正，计算得，，因此有，②设的横坐标分别为，由①知，，，因此，结合的倾斜角为可知，，③由②可知，，故，从而由③得：注1：利用的圆心到的距离小于的半径，列出不等式，同样可以求得②中的范围.注2：更简便的计算的方式是利用圆幂定理，事实上，的圆心为，半径为，故.2016A 7、双曲线的方程为，左右焦点分别为、，过点作一直线与双曲线的右半支交于点、，使得，则的内切圆半径是 ◆答案：★解析：由双曲线的性质知，，．因=90，故，因此从而直角的内切圆半径是2016A 11、（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系中，是轴正半轴上的一个动点设为焦点，为顶点作抛物线设是第一象限内抛物线上的一点，是轴负半轴上的一点，使得为抛物线的切线，且，圆，均与直线相切于点，且均与轴相切求点的坐标，使得圆与的面积之和取到最小值★ 解析：设抛物线C的方程是，点Q的坐标为，并设的圆心分别为．设直线PQ的方程为，将其与C的方程联立，消去可知．因为PQ与C相切于点P，所以上述方程的判别式为，解得．进而可知，点P的坐标为．于是．由｜PQ｜=2可得 ①……………………5分注意到OP与圆相切于点P，所以．设圆与轴分别相切于点M，N，则分别是的平分线，故=90．从而由射影定理知结合①，就有 ②……………………10分由共线，可得．化简得 ③……………………15分令，则圆的面积之和为．根据题意，仅需考虑T取到最小值的情况．根据②、③可知，．作代换，由于，所以．于是．上式等号成立当且仅当，此时，因此结合①得，从而F的坐标为．………………………20分2016B 6、在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为,则直线的方程为 ◆答案：★解析：的标准方程分别为由于两圆关于直线对称，所以它们的半径相等．因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线，它通过的中点，由此可得直线的方程是2016B 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线的方程为．求符合以下要求的所有大于的实数：过点任意作两条互相垂直的直线与，若与双曲线交于两点，与交于两点，则总有成立．★解析：过点作两条互相垂直的直线与易知，与交于点（注意这里），与交于点由条件知，解得这意味着符合条件的只可能为下面验证符合条件．事实上，当中有某条直线斜率不存在时，则可设，就是前面所讨论的的情况，这时有若的斜率都存在，不妨设注意这里（否则将与的渐近线平行，从而与只有一个交点）．联立与的方程知，即这是一个二次方程式，其判别式为．故与有两个不同的交点．同样，与也有两个不同的交点由弦长公式知，用代替，同理可得于是综上所述，为符合条件的值．2015A 11、（本题满分20分）在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过焦点的直线与椭圆交于两个不同的的，点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围。

★解析：由条件知，点、的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) ．设直线l的方程为，点A、B的坐标分别为和，则满足方程，即．由于点A、B不重合，且直线l的斜率存在，故是方程①的两个不同实根，因此有①的判别式，即．②由直线的斜率依次成等差数列知，，又，所以，化简并整理得，．假如，则直线l的方程为，即 z 经过点（-1, 0)，不符合条件．因此必有，故由方程①及韦达定理知，，即．③ 由②、③知，，化简得，这等价于．反之，当满足③及时，l必不经过点（否则将导致，与③矛盾）, 而此时满足②，故l与椭圆有两个不同的交点A、B，同时也保证了、的斜率存在（否则中的某一个为- l，结合知，与方程①有两个不同的实根矛盾）．10分点（l , 0）到直线l: 的距离为．注意到，令，则，上式可改写为．考虑到函数在上上单调递减，故由④得，，即．20 分2015B 7、设为椭圆上的动点，点，则的最大值为 ◆答案： ★解析：取F ( 0 , l )，则 F, B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4．因此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|≤4+|FA|=4+l= 5．当P在AF延长线与椭圆的交点时，|PA|+|PB|最大值为5．2015B 11、（本题满分20分）已知椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，求该椭圆的离心率的取值范围．★解析：设椭圆的右焦点F的坐标为（, 0)．显然l不是水平直线，设直线l的方程为，点A、B的坐标分别为，．将直线 l的方程与椭圆方程联立，消去得 ．由韦达定理 ．5分因为等价于，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存在实数，使得,． ①显然存在满足①等价于．② 15 分又，所以②等价于，两边除以 得到,即．由于，解得：．20 分2014A 6、设椭圆的两个焦点、，过点的直线与交于点，若且，则椭圆的短轴与长轴的比值为 ◆答案： ★解析：不妨设，。

记椭圆的长轴，短轴的长度分别为，，焦距为，则，且由椭圆的定义知，于是设为线段的中点，则，且有由勾股定理知，即，解得，进而，因此椭圆的短轴与长轴的比值为2014A 9、（本题满分16分）平面直角坐标系中，是不在轴上的一个动点，满足条件：过可作抛物线的两条切线，两切点连线与垂直.设直线与直线，轴的交点分别为⑴证明：是一个定点；⑵求的最小值★解析：（1）设点的坐标为，易知记两切点，的坐标分别为，，则，的方程分别为 ① ②而点的坐标同时满足①，②故，的坐标均满足方程 ③，故③就是直线的方程直线与的斜率分别为与，由知，，故 ………4分从而③即为，故与轴的交点是定点（2，0） …………8分（2）因为，故直线的斜率，直线的斜率设，则为锐角，且当时，的最小值为 ……………………16分2014B 6、、是椭圆（）的两个焦点，为椭圆上的一点，如果的面积为，，，则 ◆答案： ★解析：不妨假定，（），则直线的斜率为，直线的斜率为.因此，我们得到：，从这两个方程中我们解得，又，解得，则从而，即2014B 11、（本题满分20分）如下图，椭圆，,是椭圆上的两点，直线，，（，）是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点.求证:三条直线共点。

★解析：直线的方程是，进而可得,，，所以直线的方程为；直线的方程为；由过，交点的直线系方程为，把代入可得，此时直线系就变为，再令，可以解得，即该直线过点，说明三条直线共点另解：利用塞瓦定理得而在椭圆上，所以，得代入上式，即可征得所以三条直线共点2013A 2、在平面直角坐标系中，点在抛物线上，满足，是抛物线的焦点，则与的面积之比为 ◆答案：★解析：由题意得，设，，代入得，所以。