【高考数学解题指导】重难点突破 抽象函数题型汇编.docx

抽象函数常见题型汇编抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、 定义域问题(一) 已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域例题1： 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二) 已知的定义域，求的定义域解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域例题2： 函数的定义域为，则的定义域为_____解析：由，得，所以，故填(三) 已知的定义域，求的定义域解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域例题3： 函数定义域是，则的定义域是_______解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四) 运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集例题4： 函数的定义域是，求的定义域解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】 已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域解析：的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】 定义域为，则定义域是__解析：因为及均相当于中的x，所以(1)当时，则; (2)当时，则二、 解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力例题5： 已知 ,求.解析：设,则∴∴2. 凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法 例题6： 已知，求解析：∵又∵，∴，(||≥1)3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数例题7： 已知二次实函数，且+2+4,求.解析：设=，则=比较系数得∴4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例题8： 已知=为奇函数,当 >0时,,求解析：∵为奇函数，∴的定义域关于原点对称，故先求<0时的表达式∵->0,∴,∵为奇函数，∴∴当<0时∴例题9： 为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.解析：∵为偶函数，为奇函数，∴,,不妨用-代换+= ………①中的,∴即－……②显见①+②即可消去,求出函数再代入①求出5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式例题10： 设的定义域为自然数集，且满足条件,及=1,求解析：∵的定义域为N，取=1,则有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴【巩固4】 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数 A. B. C. D. 解析：要求的解析式，实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。

点关于直线的对称点适合，即又，，即，选B巩固5】 设对满足的所有实数x，函数满足，求f(x)的解析式解析：在中以代换其中x，得：再在(1)中以代换x，得化简得：评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略三、 求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解例题11： 已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f(3)，f(9)的值解析：取，得因为，所以又取，得例题12： 定义在R上的函数满足：且，求的值解析：由，以代入，有，为奇函数且有，又由是周期为8的周期函数， 【巩固6】 已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______解析：在条件中，令，得，又令，得，【巩固7】 已知是定义在R上的函数，且满足：，，求的值解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是，所以，故是以8为周期的周期函数，从而四、 值域问题例题13： 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。

解析：令，得，即有或若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段巩固8】 已知函数对任意实数有，且当时，求在上的值域解析：设，且，则，由条件当时， ，又，为增函数，令，则又令 ，得 ，，故为奇函数，，上的值域为五、 求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用例题14： 已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围解析：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，在上是减函数，由得1）当时，，不等式不成立2）当时，（3）当时，综上所述，所求的取值范围是例题15： 是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围解析：：对恒成立 对恒成立对恒成立， 【巩固9】 已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值解析：由单调性，脱去函数记号，得由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有【巩固10】 已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。

解析：设且，则，，即故为增函数，又，因此不等式的解集为六、 单调性问题例题16： 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：在R上为增函数证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而，所以又当时，，所以对任意，恒有设，则∴，∴在R上为增函数例题17： 已知偶函数在上是减函数，问在上是增函是减函数，并证明你的结论证明：如图所示，易知在上是增函数，证明如下：任取因为在上是减函数，所以又是偶函数，所以， 从而，故在上是增函数巩固11】 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是 A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为解析：画出满足题意的示意图1，易知选B七、 奇偶性问题例题18： 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性解析：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数巩固12】 若函数与的图象关于原点对称，求证：函数是偶函数证明：设图象上任意一点为P（）与的图象关于原点对称，关于原点的对称点在的图象上，又，即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。

八、 周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,1. ，则是以为周期的周期函数；2. ，则是以为周期的周期函数；3. ，则是以为周期的周期函数；4. ，则是以为周期的周期函数； 5. ，则是以为周期的周期函数.6. ，则是以为周期的周期函数.7. ，则是以为周期的周期函数.8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；10.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；11.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；例题19： 设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（T为非零常数）则为周期函数，且周期为T证明： 得由（3）得由（3）和（4）得上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6例题20： 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有，并存在正实数c，使试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数故是周期函数，2c是它的一个周期巩固13】 设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称对任意都有证明f(x)是周期函数证明：依题设关于直线对称,故又由是偶函数知,将上式中以代换，得这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期是偶函数的实质是的图象关于直线对称又的图象关于对称，可得是周期函数,且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期证明：关于直线对称.又由是偶函数知,将上式中以代换，得是上的周期函数,且是它的一个周期思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称证明是周期函数，且是它的一个周期证明：关于直线对称将上式的以代换得是上的周期函数,且是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，还是不是周期函数？我们得到思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称证明是周期函数，且4是它的一个周期证明：关于对称,又由是奇函数知将上式的以代换，得是上的周期函数,且4是它的一个周期是奇函数的实质是的图象关于原点（0，0）中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。

由此进行一般化推广，我们得到思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称证明是周期函数，且是它的一个周期证明：关于点对称，关于直线对称，将上式中的以代换，得是上的周期函数，且是它的一个周期由上我们发现，定义在上的函数，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则是上的周期函数进一步我们想到，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设是定义在上的函数，其图。