人教B版高中数学必修第四册11.1.6祖暅原理与几何体的体积【课件】.pptx

11,1.6,祖暅原理与几何体的体积,新知初探,自主学习,课堂探究,素养提升,课程标准,1.,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构,2,知道球、棱柱、棱锥、棱台的体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题,新知初探,自主学习,教,材,要,点,知识点一祖暅原理,(1),“,幂势既同，则积不容异,”,，即,“,夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积,_,，那么这两个几何体的体积,_,”,(2),作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积,_,总相等,一定相等,相等,知识点二柱体、锥体、台体和球的体积公式,其中,S,、,S,分别表示上、下底面的面积，,h,表示高，,r,和,r,分别表示上、下底面圆的半径，,R,表示球的半径,名称,体积,(,V,),柱体,棱柱,_,圆柱,r,2,h,锥体,棱锥,_,圆锥,r,2,h,台体,棱台,_,圆台,h,(,r,2,rr,r,2,),球,_,Sh,Sh,h,(,S,S,),R,3,基,础,自,测,1,若长方体的长、宽、高分别为,3 cm,、,4 cm,、,5 cm,，则长方体的体积为,(,),A,27 cm,3,B,60 cm,3,C,64 cm,3,D,125 cm,3,答案：,B,解析：,长方体的体积为,3,4,5,60(cm,3,),2,圆锥的母线长为,5,，底面半径为,3,，则其体积为,(,),A,15 B,30,C,12 D,36,答案,：,C,解析：,圆锥的高,h,4,，故,V,3,2,4,12.,3,如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是,4,，那么圆柱的体积等于,(,),A,B,2,C,4 D,8,答案：,B,解析：,设轴截面正方形的边长为,a,，,由题意知,S,侧,a,a,a,2,.,又,S,侧,4,，,a,2.,V,圆柱,2,2.,4,若一个球的直径是,12 cm,，则它的体积为,_cm,3,.,288,解析：,由题意，知球的半径,R,6 cm,，故其体积,V,R,3,6,3,288(cm,3,),课堂探究,素养提升,题型,1,求柱体的体积,例,1,如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为,6 cm,，高为,3 cm,，下面是正六棱柱，其底面边长为,4 cm,，高为,2 cm,，现从中间挖去一个直径为,2 cm,的圆柱，求此几何体的体积,【解析】,V,六棱柱,4,2,6,2,48,(cm,3,),，,V,圆柱,3,2,3,27(cm,3,),，,V,挖去圆柱,1,2,(3,2),5(cm,3,),，,此几何体的体积：,V,V,六棱柱,V,圆柱,V,挖去圆柱,(48,22)(cm,3,),方法归纳,计算柱体体积的关键及常用技巧,(1),计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高,(2),常用技巧：,充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高,由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积,跟踪,训练,1,一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比,解析：,设正方体边长为,a,，圆柱高为,h,，底面半径为,r,，,则有,由,得,r,a,，,由,得,rh,2,a,2,，,V,圆柱,r,2,h,a,3,，,V,正方体,V,圆柱,a,3,1,2.,题型,2,求锥体的体积,例,2,(1),半径为,R,的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是,(,),A,R,3,B,R,3,C,R,3,D,R,3,【答案】,A,【解析】,设,圆锥的底面半径为,r,，则,2,r,l,R,.,所以,r,R,.,所以,圆锥的高,h,R,.,所以,V,锥,r,2,h,R,R,3,.,(2),如图三棱台,ABC,-,A,1,B,1,C,1,中，,AB,A,1,B,1,1,2,，求三棱锥,A,1,-,ABC,，三棱锥,B,-,A,1,B,1,C,，三棱锥,C,-,A,1,B,1,C,1,的体积之比,【解析】,设棱台的高为,h,，,S,ABC,S,，则,4,S,.,S,ABC,h,Sh,，,h,Sh,.,又,V,台,h,(,S,4,S,2,S,),Sh,，,V,台,Sh,Sh,，,体积比为,1,2,4.,状元,随笔,(3),如图，已知,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,是棱长为,a,的正方体，,E,为,AA,1,的中点，,F,为,CC,1,上一点，求三棱锥,A,1,-,D,1,EF,的体积,【解析】,由,，,因为,EA,1,A,1,D,1,a,2,，,又三棱锥,F,-,A,1,D,1,E,的高为,CD,a,，,所以,a,a,2,a,3,.,a,3,.,状元,随笔三棱锥,A,1,-D,1,EF,的高不易求出，可以转换为求三棱锥,F-A,1,D,1,E,的体积,方法归纳,1,三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法,2,求几何体体积的常用方法,跟踪训练,2,(1),如图所示，正方体,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,1,，则三棱锥,D,1,-,ADC,的体积是,(,),A,B,C,D,1,解析,：,三,棱锥,D,1,-,ADC,的体积,V,S,ADC,D,1,D,AD,DC,D,1,D,.,答案,：,A,(2),如图，正方体,ABCD,-,A,B,C,D,的棱长为,4,，动点,E,，,F,在棱,AB,上且,EF,2,，动点,Q,在棱,D,C,上，则三棱锥,A,-,EFQ,的体积,(,),A,与点,E,，,F,的位置有关,B,与点,Q,的位置有关,C,与点,E,，,F,，,Q,的位置都有关,D,与点,E,，,F,，,Q,的位置均无关，是定值,解析,：,V,三棱锥,A,-,EFQ,V,三棱锥,Q,-,A,EF,EF,AA,A,D,，,所以其体积为定值，与点,E,，,F,，,Q,的位置均无关,答案,：,D,(3),如图所示，三棱锥,P,-,ABC,的所有棱长都为,1,，求此三棱锥的体积,解析：,如图所示，把三棱锥放在正方体中,三棱锥,P,-,ABC,可看作正方体切去四个三棱锥得到，,因为正四面体的棱长为,1,，所以正方体的棱长为,，所以三棱锥,P,-,ABC,的体积为,4,.,状元,随笔将此三棱锥放在正方体中，看作正方体切去四个三棱锥得到，据此设计算法求解,题型,3,求台体的体积,例,3,已知正四棱台两底面边长分别为,20 cm,和,10 cm,，侧面积是,780 cm,2,.,求正四棱台的体积,【解析】,如图所示，正四棱台,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,A,1,B,1,10 cm,，,AB,20 cm.,取,A,1,B,1,的中点,E,1,，,AB,的中点,E,，则,E,1,E,是侧面,ABB,1,A,1,的高设,O,1,、,O,分别是上、下底面的中心，则四边形,EOO,1,E,1,是直角梯形,由,S,侧,4,(10,20),E,1,E,780,，得,EE,1,13,，,在直角梯形,EOO,1,E,1,中，,O,1,E,1,A,1,B,1,5,，,OE,AB,10,，,O,1,O,12,，,V,正四棱台,12,(10,2,20,2,10,20),2 800(cm,3,),故正四棱台的体积为,2 800 cm,3,.,状元,随笔可以尝试借助四棱台内的直角梯形求出棱台底面积和高，从而求出体积,方法,归纳,求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系,跟踪,训练,3,本例若改为,“,正四棱台的上、下两底的底面边长分别为,2 cm,和,4 cm,，侧棱长为,2 cm,，求该棱台的体积,”,解析：,如图，正四棱台,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,中，上、下底面边长分别为,2 cm,和,4 cm,，,则,O,1,B,1,cm,，,OB,2,cm,，,过点,B,1,作,B,1,M,OB,于点,M,，那么,B,1,M,为正四棱台的高，在,Rt,BMB,1,中，,BB,1,2 cm,，,MB,(2,),(cm),根据勾股定理,MB,1,(cm),S,上,2,2,4(cm,2,),，,S,下,4,2,16(cm,2,),，,V,正四棱台,(4,16),28,(cm,3,),题型,4,求球的体积,例,4,(1),过球面上三点,A,，,B,，,C,的截面到球心,O,的距离等于球的半径的一半，且,AB,BC,CA,3 cm,，求球的体积和表面积,解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形,【解析】,如图，设过,A,，,B,，,C,三点的截面为圆,O,，连接,OO,、,AO,、,AO,.,AB,BC,CA,3(cm),，,O,为正三角形,ABC,的中心，,AO,AB,(cm),设,OA,R,，则,OO,R,，,OO,截面,ABC,，,OO,AO,，,AO,R,(cm),，,R,2(cm),，,V,球,R,3,(cm,3,),，,S,球,4,R,2,16(cm,2,),即球的体积为,cm,3,，表面积为,16 cm,2,.,(2),如图，圆柱内有一内切球,(,圆柱各面与球面均相切,),，若内切球的体积为,，则圆柱的侧面积为,(,),A,B,2,C,4 D,8,【解析】,设球的半径为,r,，则,r,3,，解得,r,1,，所以圆柱的底面半径,r,1,，母线长为,l,2,r,2,，所以圆柱的侧面积为,S,2,rl,2,1,2,4.,【答案】,C,方法,归纳,球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法,跟踪,训练,4,如果三个球的半径之比是,1,2,3,，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的,(,),A,1,倍,B,2,倍,C,3,倍,D,4,倍,解析：,半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为,x,，,2,x,，,3,x,，则最大球的半径为,3,x,，其体积为,(3,x,),3,，其余两个球的体积之和为,x,3,(2,x,),3,，,(3,x,),3,3.,答案：,C,教材反思,1,本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积,2,本节课要重点掌握的规律方法,(1),求空间几何体的体积的方法,(2),求与组合体有关的体积的方法,3,本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错,。