人教B版高中数学必修第三册8.2.3 倍角公式【课件】.pptx

8,2.3,倍角公式,新知初探,自主学习,课堂探究,素养提升,【课程标准】,1.,能从两角差的余弦公式推导出倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系,2,能运用上述公式进行简单的恒等变换,新知初探,自主学习,教,材,要,点,知识点一倍角公式,S,2,：,sin 2,_,C,2,：,cos 2,_,_,_.,T,2,：,tan 2,_,2sin,cos,cos,2,sin,2,2cos,2,1,1,2sin,2,状元,随笔你是怎样理解倍角公式中的,“,倍角,”,二字的？,提示,倍角公式中的,“,倍角,”,是相对的，对于两个角的比值等于,2,的情况都成立，如,2,是,的倍角，,8,是,4,的倍角，,是,的倍角等等,知识点二倍角公式的变换,(1),因式分解变换,cos 2,cos,2,sin,2,(cos,sin,)(cos,sin,).,(2),配方变换,1sin 2,sin,2,cos,2,2sin,cos,(sin,cos,),2,.,(3),升幂缩角变换,1,cos 2,2cos,2,，,1,cos2,2sin,2,.,(4),降幂扩角变换,cos,2,(1,cos2,),，,sin,2,(1,cos2,),，,sin,cos,sin 2,.,基,础,自,测,1,sin 15sin 75,的值为,(,),A,B,C,D,答案：,B,解析：,原式,sin 15cos 15,sin 30,.,2,计算,1,2sin,2,22.5,的结果为,(,),A,B,C,D,答案：,B,解析：,1,2sin,2,22.5,cos45,.,3,(cos,sin,)(cos,sin,),的值为,(,),A,B,C,D,答案,：,D,解析：,原式,cos,2,sin,2,cos,.,4,若,tan 2,2,，则,tan 4,_,解析：,tan 4,.,课堂探究,素养提升,题型,1,利用倍角公式化简求值,例,1,化简求值,(1)cos,4,sin,4,；,(,2)sin,cos,cos,；,(3)1,2sin,2,750,；,(4),.,灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得,【解析】,(1)cos,4,sin,4,(cos,2,sin,2,)(cos,2,sin,2,),cos,.,(2),原式,(2sin,cos,)cos,sin,cos,(2sin,cos,),sin,.,(3),原式,cos(2,750),cos 1 500,cos(4,360,60),cos 60,.,(4),tan45,.,方法归纳,倍角公式的灵活运用,(1),公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现主要形式有：,2sin,cos,sin 2,，,sin,cos,sin 2,，,cos,，,cos,2,sin,2,cos 2,，,tan 2,.,(2),公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式主要形式有：,1sin 2,sin,2,cos,2,2sin,cos,(sin,cos,),2,，,1,cos 2,2cos,2,，,cos,2,，,sin,2,.,跟踪训练,1,求下列各式的值：,(1)sin,cos,；,(2)2sin,2,1,；,(3)cos20cos 40cos 80,；,(4),.,解析：,(1),原式,.,(2),原式,(1,2sin,2,),2,2,cos,.,(3),原式,.,(4),原式,2,.,题型,2,利用倍角公式解决条件求值问题,例,2,(1),已知,sin,3cos,，那么,tan 2,的值为,(,),A,2 B,2,C,D,【答案】,D,【解析】,因为,sin,3cos,，,所以,tan,3,，,所以,tan 2,.,(2),已知,sin(,),，则,cos(,2,),的值等于,(,),A,B,C,D,【答案】,C,【解析】,因为,cos(,),sin,(,),sin(,),，,所以,cos(,2,),2cos,2,(,),1,2,(,),2,1,.,(3),已知,cos,，,sin,，,是第三象限角，,(,，,).,求,sin 2,的值；,求,cos(2,),的值,【解析】,因为,是第三象限角，,cos,，,所以,sin,，,所以,sin2,2sin,cos,2,(,),(,),.,因为,(,，,),，,sin,，,所以,cos,，,cos2,2cos,2,1,2,1,，,所以,cos(2,),cos 2,cos,sin 2,sin,(,),.,状元,随笔,(1),可先求,tan,，再求,tan,2,；,(2),可利用,2,2(,),求值；,(3),可先求,sin,2,，,cos,2,，,cos,，再利用两角和的余弦公式求,cos,(2,),方法归纳,直接应用倍角公式求值的三种类型,(1)sin,(,或,cos,),cos,(,或,sin,),sin 2,(,或,cos 2,),(2)sin,(,或,cos,),cos 2,1,2sin,2,(,或,2cos,2,1),(3)sin,(,或,cos,),跟踪,训练,2,(1),已知,(,，,),，,sin,，则,sin 2,_,，,cos 2,_,，,tan 2,_,解析：,因为,(,，,),，,sin,，所以,cos,，所以,sin 2,2sin,cos,2,(,),，,cos 2,1,2sin,2,1,2,(,),2,，,tan2,.,(,2),已知,sin(,)sin(,),，且,(,，,),，求,tan 4,的值,解析：,因为,sin(,),sin,(,),cos(,),，,则已知条件可化为,sin(,)cos(,),，即,sin 2(,),，,所以,sin(,2,),，,所以,cos 2,.,因为,(,，,),，所以,2,(,，,2),，,从而,sin 2,，,所以,tan2,2,，故,tan 4,.,题型,3,利用倍角公式证明,例,3,求证：,sin 2,.,可先化简左边，切化弦，再利用倍角公式化简出右边,【证明】,法一：左边,sin,cos,cos,sin,cos,sin 2,右边,原式成立,法二：左边,cos,2,cos,2,tan,cos,sin,sin 2,右边,原式成立,方法归纳,证明问题的原则及一般步骤,(1),观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用,“,两头凑,”,的思想,(2),证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着,“,复角化单角,”“,异名化同名,”“,变量集中,”,等原则，设法消除差异，达到证明的目的,跟踪,训练,3,求证：,cos,2,(,A,B,),sin,2,(,A,B,),cos2,A,cos 2,B,.,证明：,左边,(cos 2,A,cos 2,B,sin 2,A,sin 2,B,cos 2,A,cos 2,B,sin 2,A,sin 2,B,),cos 2,A,cos 2,B,右边，,等式成立,题型,4,倍角公式的灵活运用,【,思考探究,】,(1),在化简,时，如何灵活使用倍角公式？,提示,在化简时，如果只是从,的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将,看成,的倍角，可能会有另一种思路，,原式,.,(2),如何求函数,f,(,x,),2cos,2,x,1,2,sin,x,cos,x,(,x,R,),的最小正周期？,提示,求函数,f,(,x,),的最小正周期，可由,f,(,x,),(2cos,2,x,1),(2sin,x,cos,x,),cos 2,x,sin 2,x,2sin(,2,x,),，知其最小正周期为,.,例,4,(1),化简：,，其中,(0,，,),；,(2),求函数,f,(,x,),5,cos,2,x,sin,2,x,4sin,x,cos,x,，,x,的最小值，并求其单调递减区间,【解析】,(1),原式,|sin,cos,|,|sin,cos,|.,当,(0,，,时，,(0,，,，,cos,sin,，,此时原式,sin,cos,cos,sin,2sin,.,当,(,，,),时，,(,),，,cos,sin,，,此时原式,sin,cos,sin,cos,2cos,.,(2),f,(,x,),5,2sin 2,x,3,2,cos 2,x,2sin 2,x,3,4(,cos 2,x,sin 2,x,),3,4(sin,cos 2,x,cos,sin 2,x,),3,4sin(,2,x,),3,4sin(2,x,),，,x,，,2,x,，,sin(2,x,),，,所以当,2,x,，即,x,时，,f,(,x,),取最小值为,3,2,.,因为,y,sin(2,x,),在,上单调递增,，,所以,f,(,x,),在,上单调递减,状元随笔,方法,归纳,本题考查倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如,y,A,sin,x,的形式，再利用函数图象解决问题,跟踪,训练,4,设函数,f,(,x,),(sin,x,cos,x,),2,2,sin,2,x,.,(1),求函数,f,(,x,),的单调递增区间；,(2),当,x,(,),时，求函数,f,(,x,),的值域,解析：,(1),f,(,x,),1,sin 2,x,2,1,sin 2,x,cos 2,x,2sin(2,x,),1,，,由,2,k,2,x,2,k,，,k,Z,，,则函数单调递增区间为,k,，,k,，,k,Z,.,(2),由,x,，得,2,x,，,则,sin(2,x,),1,，,则,1,f,(,x,),3,，即值域为,(1,，,3.,教材反思,(1),对于,“,倍角,”,应该有广义上的理解，如：,8,是,4,的二倍；,4,是,2,的二倍；,是,的二倍；,是,的二倍；,(,n,N,*,),(2),倍角的余弦公式的运用,在倍角公式中，倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛常用形式：,1,cos2,2cos,2,；,cos,2,；,1,cos 2,2sin,2,；,sin,2,.,。