2019版高考数学一轮复习第二章函数第九节函数模型及其应用课件文.ppt

第九节 函数模型及其应用,总纲目录,教材研读,1.几种常见的函数模型,考点突破,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤（四步八字）,考点二 函数y=ax+ 的模型,考点一 一次函数与二次函数模型,考点三 指数函数、对数函数模型,考点四 分段函数,1.几种常见的函数模型,教材研读,2.三种增长型函数模型的图象与性质,3.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用 数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:,1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是 ( ),A.一次函数模型 B.幂函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型,答案 A 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数 值的增量是均匀的,故为一次函数模型.,,A,2.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种 细菌由1个繁殖成4 096个需经过 ( ) A.12小时 B.4小时 C.3小时 D.2小时,答案 C 设需经过t小时,由题意知24t=4 096,即16t=4 096,解得t=3.,,C,3.(2015北京西城二模)某工厂更新设备,已知在未来x年内,此设备所花 费的各种费用总和y(万元)与x之间的函数关系式为y=4x2+64,若欲使此 设备的年平均花费最低,则此设备的使用年限x为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6,答案 B 设该设备的年平均花费为z万元,则z= = =4x+ ≥3 2,当且仅当4x= ,即x=4时,z取最小值,故选B.,,B,4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形 的面积最大,则隔墙的长度为 .,答案 3,解析 设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x- 3)2+18,∴当x=3时,S取最大值.,,3,解析 (1)由题意知最高点为(2+h,4),h≥1, 设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4, 当h=1时,最高点为(3,4),抛物线方程为y=a(x-3)2+4,,将A(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a=-1,所以当h=1时,跳水曲线所在 的抛物线方程为y=-(x-3)2+4. (2)将点A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,得ah2=-1. 由题意知方程a[x-(2+h)]2+4=0在区间[5,6]内有一解. 令f(x)=a[x-(2+h)]2+4=- [x-(2+h)]2+4, 则f(5)=- (3-h)2+4≥0, 且f(6)=- (4-h)2+4≤0. 解得1≤h≤ . 故所求h的取值范围是 .,方法技巧 对于实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量问题等),可根据 已知条件确定二次函数模型,结合二次函数的图象、单调性、零点解 决,解题时一定要注意函数的定义域.,1-1 (2016北京西城二模)某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元) 满足关系f(x)= 已知某家庭今年前三个月的煤气费如 下表:,若四月份该家庭使用了20 m3煤气,则其煤气费为 ( ) A.11.5元 B.11元 C.10.5元 D.10元,A,解析 A 由题表知一月份、二月份、三月份煤气费分别为4元,14元, 19元, 这三个月煤气费的计算有以下2种情况: (1)这三个月的煤气费均由f(x)=C+B(x-A)(x>A)计算得到. 故 由①②得B= . 由②③得B= . 矛盾.故不可能为此种情况. (2)一月份的煤气费由f(x)=C(0A)计算得到. ∴ ∴ ∴f(x)= 当x=20时,f(20)=4+ ×(20-5)=11.5.故选A.,解析 设该场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最 少,平均每天支付的总费用为y元.,因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x天 饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+……+6=(3x2-3x)(元).,,从而有y= (3x2-3x+300)+200×1.8= +3x+357≥417,当且仅当 =3x, 即x=10时,y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的 总费用最少.,方法指导 应用函数f(x)=ax+ 模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= 叠加而成的. (2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+ 的模型,有时可以将所 列函数关系式转化为f(x)=ax+ 的形式. (3)利用模型f(x)=ax+ 求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最 值时等号成立的条件.,2-1 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间,年生产的总成本y (万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y= -30x+4 000,则每 吨的成本最低时的年产量为 ( ) A.240吨 B.200吨 C.180吨 D.160吨,答案 B 依题意,得每吨的成本为 = + -30,则 ≥2 - 30=10, 当且仅当 = ,即x=200时取等号, 因此,当每吨成本最低时,年产量为200吨.,,B,考点三 指数函数、对数函数模型,典例3 (1)(2016北京西城期末)某食品的保鲜时间t(单位:小时)与储藏 温度x(恒温,单位:℃)满足函数关系t= 且该食品在4 ℃的保鲜 时间是16小时. ①该食品在8 ℃的保鲜时间是 小时; ②已知甲在某日上午10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的 室外温度随时间变化如图所示,那么到了此日13时,甲所购买的食品是 否过了保鲜时间 .(填“是”或“否”),答案 (1)①4 ②是 (2)C,解析 (1)①∵食品在4 ℃的保鲜时间是16小时,∴24k+6=16,解得k=- .∴t (8)=2-4+6=4.,②由题图可知在12时时,温度为12 ℃,此时该食品的保鲜时间为2-6+6=20= 1小时. ∴到13时,该食品已过保鲜时间. (2)由已知得192=eb,① 48=e22k+b=e22k·eb,② 将①代入②得e22k= ,则e11k= , 当x=33时,y=e33k+b=e33k·eb= ×192=24,所以该食品在33 ℃的保鲜时间是 24小时.故选C.,方法技巧 一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考 虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函 数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.,3-1 (2016四川,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入. 若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研 发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 ( ) (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年,B,答案 B 设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万 元. 根据题意得130(1+12%)n-1>200, 则lg[130(1+12%)n-1]>lg 200, ∴lg 130+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12>lg 2+2, ∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,解得n> , 又∵n∈N*,∴n≥5, ∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选 B.,典例4 国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以 下,飞机票每张收费900元;若每团人数大于30,则给予优惠:每多1人,机 票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给 航空公司包机费15 000元. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?,考点四 分段函数,方法技巧 (1)在很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式表示,这时就需 要构建分段函数模型,如出租车的收费与路程的关系.(2)求函数的最值 常利用基本不等式、导数、函数的单调性等.在求分段函数的最值时, 应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.,4-1 某旅游景点预计2019年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单 位:万人)与x的关系近似为p(x)= x(x+1)·(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x 个月的人均消费额q(x)(单位:元)与x的关系近似是q(x)= (1)写出2019年第x个月的旅游人数f(x)(单位:人)与x的函数关系式; (2)试问2019年第几个月的旅游消费总额最大?最大月旅游消费总额为 多少元?,解析 (1)当x=1时, f(1)=p(1)=37, 当2≤x≤12,且x∈N*时, f(x)=p(x)-p(x-1),= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x) =-3x2+40x,经验证x=1时也满足此式, 所以f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12). (2)由题意知第x个月的旅游消费总额为 g(x)= 即g(x)= ①当1≤x≤6,且x∈N*时,,g'(x)=18x2-370x+1 400,令g'(x)=0, 解得x=5或x= (舍去). 当1≤x≤5时,g'(x)≥0, 当5