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本文格式为Word版，下载可任意编辑研究生流体力学讲义 高等流体力学 讲义 陈燎原编 2022年9月 预备学识 §1 场论的根本概念 一、标量场 空间区域D的每一点M（x,y,z）对应一个数值φ（x,y,z），它在此空间域D上构成一个标量场，用点M（x,y,z）的标量函数φ（x,y,z）表示 例：温度场T（x,y,z），密度场ρ（x,y,z） ?二、矢量场 空间区域D的每一点M（x,y,z）对应一个矢量值A（x,y,z），它在此空间域D上构?成一个矢量场，用点M（x,y,z）的矢量函数A（x,y,z）表示 ????A(x,y,z)?A(x,y,z)i?A(x,y,z)j?A(x,y,z)k （0-1） xyz???? 例：流速场 V(x,y,z)?Vx(x,y,z)i?Vy(x,y,z)j?Vz(x,y,z)k 矢量场的矢量线——曲线上各点处的矢量均与曲线相切 （设M（x,y,z）为矢量线上任一点） ????矢径为 r?xi?yj?zk ????微分为 dr?dxi?dyj?dzk ?????dr与场矢量A?Axi?Ayj?Azk相切 图 0-1 ? dxdydz (矢量线微分方程) （0-2） ??AxAyAz三、梯度 标量场φ（x,y,z）的梯度定义为 ?????????i?j?k??? （0-3） grad???x?y?z???????j?k 称哈密尔顿算子（为矢性微分算子） （0-4） 式中 ??i?x?y?z由定义知，标量函数的梯度为矢量函数，其方向与过点M0（x,y,z）的等值面??c的方向重合， 指向?增加的一方，是?变化率最大的方向，表示最大变化率数值。

四、方向导数 定义 ?(M)??(M0)?? （0-5） ?limM?M0?lM0M???0，?沿l向增加 ?l???0，?沿l向减小 当?l当 图 0-2 1 ??????????计算式 ?l·gra?d?co?s?cos??co?s （0-6） ?l?x?y?z?????其中 l?cos?i?cos?j?cos?k 为方向l的单位矢量，?,?,?为方向角， cos?,cos?,cos?为方向余弦 方向导数为?在方向l上的变化率，它等于其梯度在方向l上的投影 ????grald? （0-7） ?l梯度性质： 1、 方向导数等于梯度在该方向上的投影； 2、 标量场每一点M的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数?（M）增大的方向。

??例：求标量场u?xy?yz在点M（2,-1,1）处的梯度，以及在矢量l?2i?2j?k方向的方向导 23数 ???32解： gradu|M?[yi?(2xy?z)j?3yzk]M 2??? ?i?3j?3k 又在l方向的单位矢量 ?l2?2?1? l????i?j?k 33|l|3? |l|?22?22?1?3 ?u?|M?graldu|M?[grad·lu]M ?l2211 ?1??(?3)??(?3)?(?)?? 3333 ?五、散度 ?通量定义：设有矢量场A(M)，沿其中某一有向 曲面S的曲面积分 ???????Ands???A·ds （0-8） ?叫A向正侧穿过曲面S的通量 图 0-3 例：微元面积上流量(即通量) ds （当Q>0表示沿曲面正侧穿过，反之负号） dQ?v·总流量 Q?????vds ??·??vds ??·2 如S为闭曲面 Q? 散度定义：设有矢量场A(M)，于场中一点M作一含M在内的任一闭曲面S，设其所包围的空间域为Ω，以△V表示其体积，以△?表示从内穿出S的通量，若当Ω以任意方式缩向M点，那么 ????散度 divA?lim?lim??M?V??M?V??ds??A· （0-9） 由定义知，散度为一标量，表示场中一点处的通量对体积的变化率。

??divA?0为有源，divA?0表示该点有散发通量的正源，<0为负源 图 0-4 ??定理：矢量场A?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k，在任一点M（x,y,z）处的散度为 ???????????diAv??·A?(i?j?k)·(Pi?Qj?Rk) ?x?y?z ?六、旋度 ?P?Q?R?? （0-10） ?x?y?z?环量的定义：设有矢量场A(M)，那么沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分 ??dl （0-11） ???A·叫此矢量场按所取方向沿曲线l的环量 物理意义：力F沿闭曲线运动一周所做功 ??dl 图 0-5 W??F·在流速场V（M）中，流速沿曲线一周的环流。

??dl Ql??V·在直角坐标系中 ?? A?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k ?dlcos(t,x)i?dlcos(t,y)j?dlcos(t,z)k ???????dl?dxi?dyj?dzk （3个cos为l的切线矢量t的方向余弦） ??dl??Pdx?Qdy?Rdz 环量 ???A·环量面密度 lim?s?M?? ?lim?l?s?M?s?s?dl?A·（即为环量对面积的变化率） 图 0-6 ????旋度定义：在矢量场A(M)中的一点M处存在这样的一个矢量R，矢量场A在点M处沿R方 3 ???向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正好就是|R|，那么称R为矢量场A在点M处的旋度，记 作rotA即rotA＝R （即旋度矢量在数值和方向上表示出了最大的环量面密度） ?????旋度计算：设A?P(x,y,z)i?Q(x,y,z)j?R(x,y,z)k， ??? i j k ????? rotA???A? ?x?z?y P Q R ?R?Q??P?R??Q?P??)i?(?)j?(?)k （0-12） ?(?y?z?z?x?x?y例：设一刚体绕坐标原点O的某个轴l转动，其角速度为 ??????????1i??2j??3k，任一点M的矢径为r?xi?yj?zk， ???????线速度为v???r?(?2z??3y)i?(?3x??1z)j?(?1y??2x)k， ?求线速度场v的旋度。

图 0-7 ????解： ?v?(?2z??3y)i?(?3x??1z)j?(?1y??2x)k ????rotv?(?1??1)i?(?2??2)j?(?3??3)k ???? ?2((?1i??2j??3k)?2? §2 张量初步 一、概念 张量概念的引入与坐标系无关，现只在笛卡儿直角坐标系中定义张量，叫笛卡儿张量张量概念是标量和矢量概念的推广标量函数在任一点的函数值只用一个数能完全描述；矢量函数需要三个分量实际中存在这样的物理量，在三维空间需要多于三个分量才能完全描述例，微元体外观的应力要九个分量才能描述这就促成了将矢量概念推广成能容纳更多分量的张量概念 张量的阶数和分量数 不同特征的物理量用不同阶的张量描述，张量阶数由它所包含的分量数抉择N阶张量的分量数为3N标量是0阶张量，矢量是1阶张量流体力学用的最多是2阶，共9个分量 并不是任何由分量组成的量都是张量只有这样的量才是张量，在坐标系旋转时其分量按确定规律变化，因而能维持某些量不变。

张量的特征是：不随坐标系旋转而变化例：标量场函数值和矢量长度都不随坐标系的旋转而变化 二、张量表示法 由于张量常包含多个分量，在式中要把所涉及的分量一一写出分外繁杂规定如下张量表示法： a) 对应于x,y,z，将坐标改写为x 1,x2,x3，简记为xi，(i=1,2,3)； b) 用ai表示一个矢量，i是自由指标，可取1，2，3； 4 — 8 —。