圆锥曲线方程总结与复习最新（精华版）.pdf

课题：小结与复习（一） 教学目的： 1 通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区 别与联系 2 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基 本方法坐标法； 并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及 “应 用数学”的意识 3 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育 教学重点： 三种曲线的标准方程和图形、性质 教学难点： 做好思路分析，引导学生找到解题的落足点 授课类型： 新授课 课时安排： 1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析 ： 在学完椭圆、双曲线、抛物线知识之后进行必要的小结与复习，可以梳理知识要点，使 学生从圆锥曲线这个整体高度来全面认识三种曲线；同时也可以对前面所学的各种解析几何 的基本方法进行归纳整理 所以本节在全章教学中起着复习、巩固和提高的作用 椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单 的几何性质都存在着巨大的相似之处，也有着一定的区别 而前面只是它节逐个学完了三种 曲线， 还缺少对它们归类比较，为了提高水平， 使同学们能够完整准确地理解和掌握三种曲 线的特点以及它们之间的区别与联系 本章介绍使用了较多的思想方法，其中的重点是数形结合的思想，转化与化归思想，坐 标法等，这些都是培养学生解决解析几何问题的基本技能和能力的基础解析几何是最终 能体现运动与变化、对立与统一的思想观点的内容之一 点与坐标、方程与曲线之间的转 化与化归给我们提供了良好的思想教育素材，我们应该给予充分的利用，达到应有的教学效 果 本小结与复习可分为二个课时进行教学 第一课时 主要讲解课本上内容，即：一、内 容提要；二、学习要求和需要注意的问题 第二课时 则针对本章的训练重点，讲解例题，进 行巩固和提高 教学过程 ：从定义出发，以“曲线的方程和方程的曲线”为准绳，适量的平 几知识为辅助， 以参数的选择为根本， 大量的计算为熟练手段。

结合函数以及不 等式为必要的提高不求难，但求熟切忌变态的纯平面几何解答解析几何 一、复习引入： 名 称椭圆双曲线 图 象 x O y x O y 平面内到两定点 21,F F的距离的和平面内到两定点 21,F F的 | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. 定 义 为常数（大于 21F F）的动点的轨迹 叫椭圆 即 aMFMF2 21 当 2a2c时，轨迹是椭圆， 当2a=2c时，轨迹是一条线段 21F F 当 2a2c时，轨迹不存在 距离的差的绝对值为常数（小 于 21F F）的动点的轨迹叫双 曲线 即aMFMF2 21 当 2a2c时，轨迹是双曲 线 当 2a=2c时，轨迹是两条 射线 当 2a2c时，轨迹不存在 标 准 方 程 焦点在x轴上时：1 2 2 2 2 b y a x 焦点在y轴上时：1 2 2 2 2 b x a y 注：是根据分母的大小来判断焦点 在哪一坐标轴上 焦 点 在x轴 上 时 ： 1 2 2 2 2 b y a x 焦 点 在y轴 上 时 ： 1 2 2 2 2 b x a y 常数 cba, 的关系 222 bca，0ba， a最大，bcbcbc, 222 bac，0ac c最大，可以 bababa, 渐近线 焦点在x轴上时： 0 b y a x 焦点在y轴上时： 0 b x a y 抛物线： 图 形 x y OF l x y O F l 方 程 )0(2 2 ppxy)0(2 2 ppxy)0(2 2 ppyx)0(2 2 ppyx 焦 点 )0 , 2 ( p )0, 2 ( p ) 2 ,0( p ) 2 , 0( p 准 线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y x y O F l x y O F l | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. 二、章节知识点回顾： 椭圆、 双曲线、 抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标 准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质 1椭圆定义 ：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点 的轨迹 2椭圆的标准方程：1 2 2 2 2 b y a x ，1 2 2 2 2 b x a y （0ba） 3椭圆的性质：由椭圆方程1 2 2 2 2 b y a x (0ba) (1)范围 :axa,byb，椭圆落在byax,组成的矩形中 (2)对称性 :图象关于y轴对称图象关于 x轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对 称中心 ，简称 中心 x轴、y轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范 围，对称的截距 （3）顶点： 椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 椭圆共有四个顶点：)0,(),0,( 2 aAaA，),0(),0( 2 bBbB加两焦点 )0,(),0 ,( 21 cFcF共有六个特殊点 21A A叫椭圆的 长轴 ， 21B B叫椭圆的 短轴 长分别 为ba 2 ,2 ba,分别为椭圆的长半轴长 和短半轴长 椭圆的 顶点 即为椭圆与对称轴的交 点 (4)离心率 : 椭圆焦距与长轴长之比 a c e 2 )(1 a b e10e 椭圆形状与e的关系：0,0 ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆 为椭圆在0e时的特例 ,1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段 21F F，此时也 可认为圆为椭圆在1e时的特例 4椭圆的第二定义 : 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1 ,0(内常数 e，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 e就是离心率 椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 5椭圆的准线方程 对于1 2 2 2 2 b y a x ，左准线 c a xl 2 1 :；右准线 c a xl 2 2 : 对于1 2 2 2 2 b x a y ，下准线 c a yl 2 1: ；上准线 c a yl 2 2 : | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. 焦点到准线的距离 c b c ca c c a p 2222 （焦参数 ） 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 6椭圆的焦半径公式：（ 左焦半径） 01 exar, （右焦半径） 02 exar, 其中e是离 心率焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式： 02 01 eyaMF eyaMF （ 其中 21, F F分别是椭圆 的下上焦点） 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为： 左加右减，上减下加 7 椭圆的参数方程 )( sin cos 为参数 by ax 8双曲线的定义：平面内到两定点 21,F F的距离的差的绝对值为常数（小于 21F F）的动点 的轨迹叫双曲线 即aMFMF2 21 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离 叫做焦距 在同样的差下， 两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲 线的形状与两定点间距离、定差有关 9双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种： 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：1 2 2 2 2 b y a x (0a,0b) ； 焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：1 2 2 2 2 b x a y (0a,0b) (2)cba,有关系式 222 bac成立，且0,0, 0cba 其中 a 与 b 的大小关系 : 可以为bababa, 10 焦点的位置 : 从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 2 x、 2 y项 的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据 项的正负来判断焦点所在的位置，即 2 x项的系数是正的，那么焦点在x轴上； 2 y项的系数 是正的，那么焦点在y轴上 11双曲线的几何性质： （1）范围、对称性 | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. 由标准方程1 2 2 2 2 b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方 向来看，随着x 的增大， y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭 圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点 顶点：0,),0,( 21 aAaA，特殊点：bBbB,0), 0( 21 实轴 ： 21A A长为 2a, a叫做 半实轴长虚轴 ： 21B B长为 2b，b 叫做 虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 （3）渐近线 过双曲线1 2 2 2 2 b y a x 的渐近线x a b y（0 b y a x ） （4）离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e 2 2 ，叫做双曲线的离心率范围：1e 双曲线形状与e 的关系：11 2 2 222 e a c a ac a b k，e越大，即渐近线的斜 率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越 大，它的开口就越阔 12等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等 轴双曲线的性质： （1）渐近线方程为：xy； （2）渐近线互相垂直； （3）离心率2e 13共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y)0(kx ka kb ，那么此双曲线方程就一 定是：)0(1 )()( 2 2 2 2 k kb y ka x 或写成 2 2 2 2 b y a x 14共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴， 这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲 线 区别：三量a,b,c 中 a,b不同（互换） c 相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲 线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法： 将 1 变为 -1 15 双曲线的第二定义：到定点 F 的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(ac a c e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率 16双曲线的准线方程： 对于1 2 2 2 2 b y a x 来说， 相对于左焦点)0 ,( 1 cF对应着左准线 c a xl 2 1: ，相对于右焦点 | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. )0,( 2 cF对应着右准线 c a xl 2 2 :； 焦点到准线的距离 c b p 2 （也叫焦参数） 对于1 2 2 2 2 b x a y 来说， 相对于上焦点),0( 1 cF对应着上准线 c a yl 2 1: ；相对于下焦点 ),0( 2 cF对应着下准线 c a yl 2 2: 17 双曲线的焦半径 定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点 21,F F的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式： 02 01 exaMF exaMF 焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式： 02 01 eyaMF eyaMF （ 其中 21,F F分别是双曲线的下上焦点） 18双曲线的焦点弦： 定义：过焦点的。