八年级几何辅助线专题训练(最新版)（最新版-修订）新修订.pdf

1 - 常见的辅助线的作法常见的辅助线的作法 1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高， 利用“三线合一”的性质解题 2.倍长中线 ： 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角 形 3.角平分线在三种添辅助线：（1）可以自角平分线上的某一点向角 的两边作垂线， （2） 可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与 角的两边相交，形成一对全等三角形 （3）可以在该角的两边上，距 离角的顶点相等长度的位置上截取二点， 然后从这两点再向角平分线 上的某点作边线，构造一对全等三角形 4.垂直平分线联结线段两端： 在垂直平分线上的某点向该线段的两 个端点作连线，出一对全等三角形 5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条 线段的长， 6.图形补全法：有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边 三角形. 7.角度数为 30 度、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成 30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样 可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创 造边、角之间的相等条件 8. 面积方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原 三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答 - 2 - D C B A E D F C B A 一、一、等腰三角形“三线合一”法 1.如图，已知ABC 中，A90，ABAC，BE 平分ABC，CEBD 于 E， 求证：CE= BD. 中考连接：中考连接： （2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60，点 P 在边 OA 上， OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=（） A3 B4C5D6 二、倍长中线（线段）造全等二、倍长中线（线段）造全等 例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图ABC 中，AB=5，AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_________. 例 2、如图，ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DEDF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小. 例 3、如图，ABC 中，BD=DC=AC，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分BAE. EDC B A - 3 - O E D CB A ABC 中考连接：中考连接： （09 崇文）以的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt， ACE 连接 DE，M、N 分别是 BC、DE 的中点探究 ： AM 与 DE 90 ,BADCAE 的关系 （1）如图 当为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系 ABC 是 ，线段 AM 与 DE 的数量关系是 ； （2） 将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后， 如图 ABD 所示， （1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 三、借助角平分线造全等三、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC 中，B=60，ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 O，求 证：OE=OD - 4 - 2、 如图， 已知点C是MAN的平分线上一点， CEAB于E， B、 D分别在AM、 AN 上，且 AE= （AD+AB）.问：1 和2 有何关系？ 中考连接：中考连接： (2012 年北京)如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所 在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法， 解答下列问题： （1） 如图， 在ABC中， ACB是直角， B=60， AD、 CE分别是BAC、 BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F请你判断并写出 FE 与 FD 之间 的数量关系； （2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变， 请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明 ； 若不成立， 请说明理由 OP A M N E B C DF A C E F B D 图 图图 - 5 - E D G F C B A 四, 垂直平分线联结线段两端 1. （ 2014广西贺州，第 17 题 3 分）如图，等腰ABC 中，AB=AC， DBC=15，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D， 则A 的度数是 2、如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F. （1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=，AC=，求 AE、BE 的长.ab 中考连接：中考连接： （2014 年广东汕尾， 第 19 题 7 分） 如图， 在 RtABC 中， B=90， 分别以点 A、 C 为圆心， 大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，连接 MN，与 AC、BC 分别交于点 D、E， 连接 AE （1）求ADE；（直接写出结果） （2）当 AB=3，AC=5 时，求ABE 的周长 补充：尺规作图 过直线外一点做已知直线的垂线 - 6 - E D C B A D C B A P Q C B A 五、截长补短五、截长补短 1、如图，中，AB=2AC，AD 平分，且 AD=BD，求证：CDACABCBAC 2、如图，ADBC，EA,EB 分别平分DAB,CBA，CD 过点 E，求证;ABAD+BC。

3、如图，已知在ABC 内，，，P，Q 分别在 BC，CA 上， 0 60BAC 0 40C 并且 AP，BQ 分别是，的角平分线求证：BQ+AQ=AB+BPBACABC 4、如图，在四边形 ABCD 中，BCBA,ADCD，BD 平分，ABC 求证： 0 180CA C D B A - 7 - 5. 如图，已知正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分DAE求证 ： AEBEDF 6.如图，ABC 中，ABC=60，AD、CE 分别平分BAC，ACB，判断 AC 的长与 AE+CD 的大小关系并证明. 7.如图，RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，AF 平分CAB 交 CD 于 E， 交 CB 于 F，且 EGAB 交 CB 于 G，判断 CF 与 GB 的大小关系并证明 六、综合六、综合 - 8 - F E D CB A N M E F A C B A 1、正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数. 2、 如图，为等边三角形， 点分别在上， 且，ABC,M N,BC ACBMCNAM 与交于点。

求的度数BNQAQN 3、已知四边形中，，，，，ABCDABADBCCDABBC120ABC ，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长60MBN MBNBADDC， 线）于EF， 当绕点旋转到时（如图 1） ，易证MBNBAECFAECFEF 当绕点旋转到时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结MBNBAECF 论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的AECF，EF 数量关系？请写出你的猜想，不需证明 4、D 为等腰斜边 AB 的中点，DMDN,DM,DN 分别交Rt ABC BC,CA 于点 E,F （图 1） A B CD E F M N （图 2） A B CD E F M N （图 3） A B C D E F M N - 9 - （1） 当绕点 D 转动时，求证 DE=DFMDN （2） 若 AB=2，求四边形 DECF 的面积 5、在等边的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABCABC 外一点， 且,,BD=DC. 探究 ： 当 M、 N 分别在直线 AB、 60MDN 120BDC AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边AMNABC 的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3 （I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ； 此时 ； L Q （II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的 两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时， 若 AN=，则 Q= （用、L 表示） xx 中考连接：中考连接：（2014抚顺 第 25 题（12 分） ） - 10 - 已知：RtABCRtABC，ACB=ACB=90，ABC= ABC=60，RtABC可绕点 B 旋转，设旋转过程中直线 CC和 AA相交 于点 D （1）如图 1 所示，当点 C在 AB 边上时，判断线段 AD 和线段 AD 之间的 数量关系，并证明你的结论； （2）将 RtABC由图 1 的位置旋转到图 2 的位置时， （1）中的结论是否成 立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3） 将 RtABC由图 1 的位置按顺时针方向旋转 角 （0120） ， 当 A、 C 、A三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数 参考答案与提示参考答案与提示 - 11 - D C B A E D F C B A 一、倍长中线（线段）造全等一、倍长中线（线段）造全等 例 1、（“希望杯” 试题） 已知， 如图ABC 中， AB=5， AC=3， 则中线 AD 的取值范围是_________. 解：延长 AD 至 E 使 AE2AD，连 BE，由三角形性质知 AB-BE <2AD