2025版高考数学一轮总复习：幂函数.pdf

第五节黑函数课程标准1.通过具体实例，理解塞函数的概念.2.结合y=x,y=,y=f,y=瓜,丁=好的图象，理解它们的变化规律.LI_ 知 识逐 点 夯 实口-必 备 知 识 系 统 梳 理 基础重落实-1课前自修 _知识梳理1.幕函数的定义一般地，函数y=叫做黑函数,其中x 是自变量，a 是常数.提 醒 幕函数的特征：自变量无处在赛底数的位置，氟指数a 为常数；犬的系数为1;只有一项.2.常见的五种幕函数的图象和性质函数iy=X2y=xx斗/斗/I图象为7T小性 定 义 域RRRx 1 x20lx 1 xWO质 值 域Ry 1 y20Ry 1 y20y 1 yWO函数1y=X2尸尤-1奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数性质单调性增函数在（-8,0 上单调递减；在（0,+8）上单调递增增函数增函数在（-8,0 ）和（0,+8 ）上单调递减对点自测1判断正误.（正确的画“4”，错误的画“X”）1（1 ）函数y=2短是幕函数.（x）（2）当 0 时，幕函数y=M农（0,+8）上单调递增.（Y ）（3）若幕函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点.（4）2.已知幕函数y=/（x）的图象过点（2,（J,则 4）=（）A.-B.4 C.D.V24 2解 析：A 设/(x)=K，.图象过点(2,3，(2)=2。

解得 a=-1,(4)=4-1=.3.已知幕函数/(x)=段，贝!|/(x)()A.是偶函数，目 在(0,+8)上单调递增B.是偶函数，且 在(0,+8)上单调递减C.是奇函数，且 在(0,+8)上单调递减D.是奇函数，且 在(0,+8)上单调递增1解 析：D因为/(x)=%3,故/(%)是奇函数，且 在(0,+o o)上单调递增，故选D.4.已 知 底 -2,-1 ,|,1 ,2,3 若 幕 函 数 尤)=为 奇 函 数，目 在(0,+8)上单调递减，则.解 析：由丫=犬为奇函数，知 a 取-1,1,3.又y=x在(0,+)上单调递减，；.a =蓊的图象恒过点(1,1),则 y=x 5-1 的图象过点(1,0)且为增函数.故选A.L 考 点分 类 突 破口 -精选考点 典例研析 技法重悟通 课堂演练I_ _幕函数的图象与性质考点一(师生共研过关)【例 1】(1 )若幕函数y=i ,y=/与 y=x 在第一象限内的图象如图所示，则，与的取值情况为(D )A.-l m O n l B.-l n O m -2iC.-l m O n -D.-l n O m 0 时，y=f在(0,+)上单调递增，且 0 a l时，图象上凸，.,()根 1.当a 0 时，在(0,+)上单调递减.不妨令x=2,由图象得2 2，则 T 几 0.综上可知，m =靖(a E R),其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式；(2)判 断 森 函 数 =犬(a R)的奇偶性及求定义域时，当。

是分数时，一般将其先化为根式，再判断；(3)若蒸函数y=K在(0,+)上单调递增，则0,若 在(0,+)上单调递减，则 a 0.幕函数性质的应用考点二(师生共研过关)2 3 2【例 2】(1)若丫，6=(|丫/=(|%则 ,八 的 大 小 关 系 是(B)A.a b c B.a cbC.c a b D.b c a(2)已 知 幕 函 数 的 图 象 过 点(-8,-2)，且 1),则实数的取值范围是8,1.2 2 2解 析：(1)因为y=我在第一象限内单调递增，所以a=(J c=(|F，因为y=(|)”是减函数，所以c=(|1 3人=(|)5,所以 acb.m+1 0,3-2m 3-2m,(2)设/(x)=当 则(-8)2,解得a=所以/(x)=/，则”无)在R 上是增函数，且为奇函数，所以/(a+1)W-/(a-3)等价于/(a+1)W/(3-a),则 a+lW 3-a,解得 aWl.解题技法比较幕值大小的策略(1)同底不同指的幕值大小比较：利用指数函数的单调性进行比较；(2)同指不同底的森值大小比较：利用赛函数的单调性进行比较；(3)既不同底又不同指的森值大小比较：常找到一个中间值，通过比较氟值与中间值的大小来进行比较.G 训练1.若(山+1)-1 0 z解 析：C分三种情况考虑：,3-2 G 0 ,解 得|加 3-2m,m+1 0,2 2(解得加 0,3 22.(多选)幕函数 x)=(浮-5杨+7)久-6在(0,十8)上单调递增，则以下说法正确的是()A.m=3B.函数/(无)在(-8,0)上单调递增C.函数无)是偶函数D.函数/(x)的图象关于原点对称解 析：ABD 因为募函数/(x)=(浮-5初+7)比想飞在(0,+8)上单调递增，所以 解m2-6 0,得优=3,所 以/(无),所以/(-x)=(-x)3=-x3=-f (x),故/(x)=x i为奇函数,函数图象关于原点对称，所以/(x)在(-8,0)上单调递增.一 课时跟踪检测口-关 键 能 力 分 层 施 练 素 养 重 提 升 T 课后练习I_ _A级基础达标1.若/(尤)是幕函数，且满足9=3,则/弓)=()f(2)2A.3B.-3解 析：C 设/（x）=炉,则 竟=2。

3,（|）=G）=（故选 C.2.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）A.y=x5 B.y=3 1 x 1iC.y=X2 D.y=log3X解 析：A 对于A 选项，=炉 为 R 上的奇函数，且为R 上的增函数，A 选项符合题意；对于B 选项，y=3#为1偶函数，B 选项不符合题意；对于C 选项，y=显的定义域为 0,+8）,为非奇非偶函数，C 选项不符合题意；对于D 选项，y=log3X的定义域为（0,+8）,为非奇非偶函数，D 选项不符合题意.故选A.3.已知常数aGQ,如图为幕函数y=犬的图象，则 a 的值可以为（）yi2-AC.3解 析：C由能函数y=V 的图象关于y 轴对称知，函数=炉是偶函数，排除B、D 选项；再根据塞函数y=炉的图象在第一象限内单调递减，可得a 0,排除A 选项.故选C.4.若幕函数 x）的图象过点（2,V 2），则函数尸+1-尤的最大值为（）A.l B.-4C.2 D.-3解 析：B 设/（%）=,V/（x）的图象过点（2,V2）,.*./（2）=2y=Vx+l-x=-（U -工）2+三，.所求最大值为士故选B.5.已知函数/（x）=x-3,若（7=/（0.6。

6）,/?=/（O.60-4）,c=/（0.46）,则“，b,的大小关系是（）.a cb B.b a cC.b ca D.c ab解 析：B 因为 0.40 6O.6S6=/（%）=%-3在（0,4-oo）上单调递减，所以6.（多选）已知函数g（无）=4 2 _，0 且 61）的图象过定点A,幕函数 x）=/的图象经过点A,则（）A./（无）在其定义域内是减函数B无）的图象经过点（1,1）C x）是奇函数D x）的定义域是R解 析：B C 由x -2=0,得尤=2,可得g （2）=1-|=|,故函数g （尤）ax2-（a 0 且 a#l）的图象过定点A （2,1）,则/（2）=2f e=|,解得 6=-1,则/（X）=i,所以/（x）的定义域为 x I x WO ,且/（x）为奇函数，函数/（X）在（-8,0）上单调递减，在（0,十8）上单调递减，但/（X）在其定义域内不单调.因为小（1）=1,所以函数/（x）的图象经过点（1,1）.故选B、C.7.（多选）已知幕函数“X）=（%+9/，则（）A 一 3 2）=表B x）的定义域是RC/（x）是偶函数D不等式尤-1 ）河（2 ）的解集是-1 ,1 ）U （1 ,3 解 析：A C D 因为函数f（x）是嘉函数，所以m+l,得m-即/（尤）x-=,/（-3 2）=（-2）4 15 飞=（-2）-4=尚，故 A正确；函数的定义域是 x l x W O ,故 B不正确；因为定义域关于原点对称，/（-x）164=/（%）,所以函数/（无）是偶函数,故C 正确；易知函数/（无）=x空 在（0,+8）上单调递减，不等式/（无-1）之（2）等价于I x-1 I W 2,解 得-2 Wx-1 W 2,且尤-1#0,解 得-1WXW 3,且 x#l,即不等式的解集是-1,1）U （1,3 ,故 D 正确.8 .已知函数 x）为黑函数，且4）=；,则当/（a）=毋（a+3）时，实数。

2_.Z J1解 析：设/（x）=K,则 4 a=,所以a=-.因此/（X）=X -2,从而晨5=4（+3）解 得巳.9 .幕函数尸一+E （w G N ）的图象一定经过第 一、三 象限.解 析：因为为自然数，所以（w+l）为偶数，则/+1 为奇数，所以y=x 2+i （C N）是奇函数，且函数的图象经过点（0,0）和 点（1,1）,/（x）在（0,+8）上单调递增，所以塞函数y=2+n+i （GN）的图象一定经过第一、三象限.1 0 .已知函数/（尤）=Y+2 x （a?且/（4 ）=1 0 ,则 a=，若/（：）/（-m+1 ），则实数机的取值范 围 是 弓，I】.解 析：/（4）=4G+2 X 4=1 0,即 42,所以 a=,所 以 龙）=x2+2x=yjx+2x,其定义域为0,+）,且m 0,/（X）在0,+8）上是增函数.由/（机）/（-m+1）可得 -爪+1 2 0,解得|-m +1,为（1,1.B级综合应用n.已知幕函数y=a (p,qGN*,“1且 p,q 互质)的图象如图所示，贝 U ()A.p,q 均为奇数，目51B.q为偶数，p 为奇数，且C.q为奇数，p 为偶数，国 1D.q为奇数，p 为偶数，且 0 ：1P解 析：D由易函数的图象关于y 轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数,则 q 为奇数.因为易函数y=痴的图象在第一象限内向上凸起，且 在(0,+8)上单调递增，所以oeX r-x2。

若 Q ,且+/?0,则/()+/(b)的 值()A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断解 析：A函数/(x)=(疡-加-5)%7n2 -6是寨函数，-5=1,解得m=-2 或根=3 对任意xi,及(0,+),且为力%2,满足(*2)0,函数/(x)在(0,+8)上单调递增，Am2-6 0,Xi-x2.9.m=3,：.f(x)=/.若，b R,且0,贝.b,：.f(a)/(-/?)=-/(7?),：.f(a)+f(Z?)0.故选A.13.已知函数/(尤)=xra2+m(m G N*),且该函数的图象经过点(2,V 2).(1)确定根的值；(2)求满足条件/(2-a)f(o-1 )的实数a的取值范围.解：(1)因为该函数的图象过点(2,V2),1所以+所以7 2+；=2,所 以%=1 或相=-2,又加C N*,故根=1.1(2)由(1)知/(x)=x i,故/(无)为 0,+8)上的增函数，又由/(2-a)fCa-1),2-之 0,得a-1,所以满足条件/(2-)/(-1)的实数的取值范围为 1,|。