考点03 二次根式（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳汇总.docx

考点03 二次根式 数学中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算、坡比的应用几个方面；取值范围类考点多出选择填空等小题，而化简计算则多以简答题形式考察，还常和锐角三角函数、实数概念结合出题，属于中考必考题；考向一、二次根式的相关概念；考向二、二次根式的性质与化简考向三、二次根式的运算；考向四、二次根式的应用考向一：二次根式的相关概念1.平方根与二次根式a(a＞0)a(a=0)a(a＜0)等于其本身的数平方根0/0算术平方根0/0、1立方根0、1、-1【易错警示】正数和0有平方根、算数平方根、立方根；负数只有立方根1．下列式子一定是二次根式的是（　　）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式分别分析得出答案．【解答】解：A、，a有可能小于0，故不一定是二次根式，不合题意；B、，若﹣1＜b＜1，a＞1时，无意义，不合题意；C、，（a﹣1）2≥0，故一定是二次根式，符合题意；D、，若﹣1＜a＜1时，无意义，不合题意；故选：C．2．12的平方根为 　±　．【分析】由平方根的概念即可求解．【解答】解：12的平方根为±，故答案为：±．3．的算术平方根是（　　）A．5 B．﹣5 C． D．【分析】一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．【解答】解：∵＝5，∴的算术平方根是．故选：C．4．若（a+）2与|b﹣1|互为相反数，则a+b的值是（　　）A． B．+1 C．﹣1 D．1﹣【分析】先根据非负数的性质求出a，b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵（a+）2与|b﹣1|互为相反数，∴（a+）2+|b﹣1|＝0，∴a+＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣，b＝1，∴a+b＝+1．故选：B．5．已知n是一个正整数，且是整数，那么n的最小值是（　　）A．6 B．36 C．3 D．2【分析】先把＝2，从而判断出6n是完全平方数，所以得出答案正整数n的最小值是6．【解答】解：＝2，则6n是完全平方数，∴正整数n的最小值是6，故选：A．2..同类二次根式与最简二次根式概念同类二次根式被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式最简二次根式满足以下两个条件的二次根式：①被开方数中不含分数，所含因式是整式；②被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；叫做最简二次根式【易错警示】二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，所以像、都是二次根式。

1．以下各数是最简二次根式的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．【解答】解：A、是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；B、＝2，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；C、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；D、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意．故选：A．2．将化成最简二次根式为 　　．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：＝＝．故答案为：．3．下列各式化简后能与合并的是（　　）A． B． C． D．【分析】先把各选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念即可得出结论．【解答】解：A、＝与不能合并，故不符合题意；B、＝3与不能合并，故不符合题意；C、＝3与能合并，故符合题意；D、＝4与不能合并，故不符合题意．故选：C．4．如果最简二次根式与2是同类二次根式，则x的值是 　2　．【分析】根据同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，可得x2+7＝4x+3，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵最简二次根式与2是同类二次根式，∴x2+7＝4x+3，∴x2﹣4x+4＝0，∴（x﹣2）2＝0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，故答案为：2．5．（1）把下列二次根式化为最简二次根式：①； ②．（2）解方程：（3x﹣2）2﹣4＝0【分析】（1）依据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．将二次根式化为最简二次根式即可．（2）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．依据平方根的定义进行计算，即可得到x的值．【解答】解：（1）①＝＝；②＝＝＝．（2）（3x﹣2）2﹣4＝0，∴（3x﹣2）2＝4，∴3x﹣2＝±2，即3x﹣2＝2或3x﹣2＝﹣2，解得x＝或x＝0．考向二：二次根式的性质与化简【易错警示】Ø 在根据二次根式的性质化简时，前无“-”，化简出来就不可能是一个负数。

1．下列计算正确的是（　　）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的性质与化简，立方根以及算术平方根的定义即可判断出答案．【解答】解：A、＝，故此选项不符合题意；B、＝﹣2，故此选项符合题意；C、当a≥0时，＝a，当a＜0时，＝﹣a，故此选项不符合题意；D、＝5，故此选项不符合题意；故选：B．2．若＝a﹣，则a的取值范围为（　　）A．a≥ B．0≤a≤ C．a≤ D．一切实数【分析】直接利用二次根式的性质得出a﹣的符号，进而得出答案．【解答】解：若＝a﹣，则a﹣≥0，解得：a≥．故选：A．3．＝　8　．【分析】先将被开方数进行计算，即可得出结论．【解答】解：＝＝8．故答案为：8．4．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：的结果是（　　）A．2c﹣2b B．﹣2c C．﹣2a﹣2c D．0【分析】关键数轴得出c＜a＜0＜b，|a|＜|c|＜|b|，再根据二次根式的性质得出＝|a|﹣|a+c|﹣|c﹣b|﹣|﹣b|＝﹣a﹣（﹣a﹣c）﹣（b﹣c）﹣b，再求出答案即可．【解答】解：因为从数轴可知：c＜a＜0＜b，|a|＜|c|＜|b|，所以＝|a|﹣|a+c|﹣|c﹣b|﹣|﹣b|＝﹣a﹣（﹣a﹣c）﹣（b﹣c）﹣b＝﹣a+a+c﹣b+c﹣b＝2c﹣2b，故选：A．5．小明在做二次根式的化简时，遇到了比较复杂的二次根式，通过资料的查询，他得到了该二次根式的化简过程如下＝|＝．（1）结合以上化简过程，请你动手尝试化简．（2）善于动脑的小明继续探究：当a，b，m，n为正整数时，若a+2＝，则有a+2，所以a＝m+n，b＝mn．若a+2，且a，m，n为正整数，m＞n求a，m，n的值．【分析】（1）根据4﹣2＝（﹣1）2，即可解决问题；（2）根据完全平方公式将等式右边展开，然后列方程求解．【解答】解：（1）＝＝＝＝﹣1．（2）∵a+2，∴a+2＝（m+n）+2，∴a＝m+n，mn＝17，m＞n，∵a，m，n为正整数，∴m＝17，n＝1，∴a＝17+1＝18．考向三：二次根式的运算二次根式加减法（1）把各二次根式化成最简二次根式；（2）根据合并同类项法则合并；二次根式乘除法分母有理化利用分式的基本性质将分母中的二次根式化成有数Ø 初中数学三个非负性概念：、、常见应用：以上三个概念，任意两个相加、或者三个相加=0，则各部分分别=0字母表达式为：Ø 公式①、②、③常用于以下两种题型：（1） 化简求值（2） 无理数比较大小常见比较大小的三种方式：（1） 利用近似值比较大小（2） 把系数移到根号内比较（3） 分别平方，然后比较大小以上方法注意两数的正负号Ø 公式④及其变形常用于分母有理化的化简，即分式的分子分母同乘分母的无理化因式，使分母变为整数。

1．下列各式中计算正确的是（　　）A．（﹣）2＝﹣2 B．＝±5 C． D．＝﹣9【分析】利用二次根式的化简的法则对各项进行运算即可．【解答】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．2．计算+结果正确的是（　　）A． B．3 C．3 D．5【分析】根据二次根式的加法法则，先化简，再合并同类二次根式．【解答】解：+＝．故选：C．3．计算：＝　1　．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝×＝2＝2×＝1．故答案为：1．4．求值：（2﹣3）2022•（3+2）2023＝　3+2　．【分析】先根据积的乘方得到原式＝[（2﹣3）•（3+2）]2022×（3+2），然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝（3﹣2）2022•（3+2）2023＝[（2﹣3）•（3+2）]2022×（3+2）＝（9﹣8）2022×（3+2）＝3+2．故答案为：3+2．5．发现①计算（）2＝　2　，（）2＝　　；②计算：＝　2　；＝　　；总结 通过①②的计算，分别探索（）2（a≥0）与a、与a的数量关系规律，请用自己的语言表述出来；应用 利用你总结的规律，结合图示计算++（）2的值．【分析】发现：①利用有理数的乘方的计算方法进行计算即可；②利用算术平方根的定义进行计算即可；总结：根据有理数的乘方的计算方法以及算术平方根的定义进行总结即可；应用：根据数m在数轴上的位置，确定m+2，m﹣1的符号，再根据上述结论进行解答即可．【解答】解：发现：①（）2＝2，（）2＝，故答案为：2，；②＝|2|＝2，＝|﹣|＝，故答案为：2，；总结：（）2＝a（a≥0），＝|a|＝；应用：由数m在数轴上的位可知，﹣2＜m＜﹣1，∴m+2＞0，m﹣1＜0，3﹣m＞0，∴原式＝2（m+2）+1﹣m+3﹣m＝8，答：++（）2＝8．6．甲、乙两位同学对代数式，分别作了如下变形：甲：＝＝，乙：＝＝．（1）甲、乙两种变形过程正确的是 　C　；A．甲乙都正确B．甲乙都不正确C．只有乙正确D．只有甲正确（2）化简：．【分析】（1）根据分式的基本性质可判断甲同学的变形错误，理由平方差公式可判断乙同学的变形正确；（2）把分子分母都乘以（﹣），然后利用平方差公式计算．【解答】解：（1）甲同学把分子分母有乘以﹣，而﹣可能为0，这不符合分式的基本性质，所以甲同学的计算错误；乙同学理由平方差公式变形，再约分，所以乙同学的计算正确；故选：C；（2）原式＝＝2．7．计算：（1）（+）×；（2）（+1）（﹣1）﹣（﹣1）2；（3）（﹣）÷﹣×．【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则计算得出答案；（3）直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝（3+4）×＝7×＝14；（2）原式＝3﹣1﹣（3+1﹣2）＝3﹣1﹣4+2＝﹣2+2；（3）原式＝（2﹣）÷﹣2＝﹣2＝﹣．ABC考向三：二次根式的应用1.图形的坡比： 直线AB的坡比i=2.与其他几何图形结合的二次根式的应用此类问题多是在特殊几何图形的基础上进行的二次根式的计算，所以需要先考虑所结合的几何图形的性质，然后在进行二次根式的计算。