新教材数学高考第一轮专题练习--专题九圆锥曲线的综合问题应用创新题组.docx

2023新高考数学第一轮专题练习9.5　圆锥曲线的综合问题应用创新题组1.(2022届河北衡水模拟,14科技发展)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举世瞩目.2019年,“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点被命名为天河基地,如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图,圆形轨道距月球表面100千米,椭圆形轨道的一个焦点是月球球心,一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表面15千米,则椭圆形轨道的焦距为　　　　千米.答案　85解析　设椭圆的长半轴长为a千米,半焦距为c千米,月球半径为r千米,由题意可得a+c=100+r,a-c=15+r,解得2c=85,即椭圆形轨道的焦距为85千米.2.(2021皖北协作体4月联考,14科技发展)“天问一号”推开了我国行星探测的大门,通过一次发射,将实现火星环绕、着陆、巡视,是世界首创,也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日,天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”,同时将近火点高度调整至约265千米.若此时远火点距离约为11 945千米,火星半径约为3 400千米,则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为　　　　.(精确到0.1) 答案　0.6解析　设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c,最大值为a+c,根据题意可得近火点满足a-c=3 400+265=3 665,远火点满足a+c=3 400+11 945=15 345,解得a=9 505,c=5 840,所以椭圆的离心率为e=ca=5 8409 505≈0.6.3.(2022届广西玉林一模,20改编题型创新)①双曲线C的渐近线方程为y=±33x,左焦点为F1(-2,0);②双曲线C的实轴长为23,点P为双曲线C右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且PF1·PF2的最小值为-1,在上面两个条件中任选一个,补充在下面横线中,再进行求解.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.(1)求双曲线C满足条件　　　　时的标准方程; (2)过点Q(2,0)作直线l与(1)中所求的双曲线C右支交于A,B两点,若AQ=2QB,求直线l的方程.解析　(1)若选条件①,由已知得c=2,ba=33,c2=a2+b2,解得a=3,b=1.∴双曲线C的标准方程为x23-y2=1.若选条件②,由题意可得,2a=23,则a=3,PF1→·PF2→=(PO→+OF1→)·(PO→+OF2→)=PO→2-c2≥a2-c2=3-c2,∵PF1·PF2的最小值为-1,∴3-c2=-1,即c2=4,∴b2=c2-a2=4-3=1,∴双曲线C的标准方程为x23-y2=1.(2)设直线l的方程为x-2=my,A(x1,y1),B(x2,y2),∵AQ=2QB,∴y1=-2y2①,由x-2=my,x23-y2=1化简整理,可得(m2-3)y2+4my+1=0,则y1+y2=-4mm2-3②,y1y2=1m2-3③,由①②③得m=±111,检验得Δ>0,∴直线l的方程为y=±11(x-2).第 2 页 共 2 页。