新教材数学高考第一轮专题练习--专题十一离散型随机变量及其分布列、均值与方差.docx

2023新高考数学第一轮专题练习11.2　离散型随机变量及其分布列、均值与方差基础篇　固本夯基考点　离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.(2022届浙江百校开学联考,7)若某随机事件的概率分布列满足P(X=i)=a·i10(i=1,2,3,4),则D(X)=(　　)A.3　　B.10　　C.9　　D.1答案　D　2.(2020课标Ⅲ理,3,5分)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且∑i=14pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(　　)A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4 B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3 D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2答案　B　3.(多选)(2021湖南三湘名校联盟联考(五),10)在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球,4个白球,现从中任取4个球,设取出的4个球中白球的个数为X,则下列结论正确的是(　　)A.P(X=2)=37B.随机变量X服从二项分布C.随机变量X服从超几何分布D.E(X)=85答案　ACD　4.(2020浙江,16,6分)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=　　　　,E(ξ)=　　　　. 答案　13;15.(2021浙江嘉兴测试,14)已知盒中装有n(n>1)个红球和3个黄球,从中任取2个球(取到每个球是等可能的),随机变量X表示取到黄球的个数,且X的分布列为X012P15ab则n=　　　　;E(X)=　　　　. 答案　3;16.(2022届河北开学摸底,18)甲、乙、丙三台机床同时生产一种零件,在10天中,甲、乙机床每天生产的次品数如下表所示:第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天第9天第10天甲0102233120乙2411021101(1)若从这10天中随机选取1天,设甲机床这天生产的次品数为X,求X的分布列;(2)已知丙机床这10天生产次品数的平均数为1.4,方差为1.84.以平均数和方差为依据,若要从这三台机床中淘汰一台,你应该怎么选择?这三台机床你认为哪台性能最好?解析　(1)依题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=P(X=2)=310=0.3,P(X=1)=P(X=3)=210=0.2,故X的分布列为X0123P0.30.20.30.2 (2)x甲=110×(0+1+0+2+2+3+3+1+2+0)=1.4,x乙=110×(2+4+1+1+0+2+1+1+0+1)=1.3,s甲2=110×[3×(0-1.4)2+2×(1-1.4)2+3×(2-1.4)2+2×(3-1.4)2]=1.24,s乙2=110×[2×(0-1.3)2+5×(1-1.3)2+2×(2-1.3)2+(4-1.3)2]=1.21.因为x甲=x丙>x乙,s丙2>s甲2>s乙2,所以次品数的平均数最小的是乙机床,稳定性最好的也是乙机床,稳定性最差的是丙机床,故应淘汰丙机床,乙机床的性能最好.7.(2022届长沙雅礼中学月考,20)为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动.某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14、16;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12、23;两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列.解析　(1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0元、40元、80元,两人都付0元的概率为P1=14×16=124,两人都付40元的概率为P2=12×23=13,两人都付80元的概率为P3=1−14−12×1-16-23=124.则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=124+13+124=512.(2)ξ(单位:元)的可能取值为0、40、80、120、160,则P(ξ=0)=14×16=124,P(ξ=40)=14×23+16×12=14,P(ξ=80)=14×16+12×23+16×14=512,P(ξ=120)=12×16+23×14=14,P(ξ=160)=14×16=124.所以,随机变量ξ的分布列为ξ04080120160P12414512141248.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解析　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)=C84C105=518.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=C65C105=142,P(X=1)=C64C41C105=521,P(X=2)=C63C42C105=1021,P(X=3)=C62C43C105=521,P(X=4)=C61C44C105=142.因此X的分布列为X01234P1425211021521142X的数学期望是EX=0+1×521+2×1021+3×521+4×142=2.综合篇　知能转换考法　求离散型随机变量的期望与方差的方法1.(2021上海崇明二模,9)已知等差数列{xn}的公差d>0,随机变量ξ等可能地取值x1,x2,x3,…,x9,则方差D(ξ)=　　　　. 答案　203d22.(2021浙江绍兴一模,15)袋中装有质地大小相同的1个白球和2个黑球,现分两步从中摸球:第一步,从袋中随机摸取2个球后全部放回袋中(若摸得白球,则涂成黑球;若摸得黑球,则不改变颜色);第二步,从袋中随机摸取2个球,记第二步所摸取的2个球中白球的个数为ξ,则P(ξ=0)=　　　　;E(ξ)=　　　　. 答案　79;293.(2021浙江,15,6分)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=　　　　,E(ξ)=　　　　. 答案　1;894.(2022届广东深圳六校联考一,20)甲乙两队进行篮球比赛,约定赛制如下:谁先赢四场则最终获胜,已知每场比赛甲赢的概率为23,输的概率为13.(1)求甲最终获胜的概率;(2)记最终比赛场次为X,求随机变量X的分布列及数学期望.解析　(1)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行七场比赛.设甲最终获胜的概率为P.∵甲四场比赛获胜的概率为234=1681,甲五场比赛获胜的概率为C43233·13·23=64243,甲六场比赛获胜的概率为C53233·132·23=160729,甲七场比赛获胜的概率为C63233·133·23=3202 187,∴P=1681+64243+160729+3202 187=432+576+480+3202 187=1 8082 187.∴甲最终获胜的概率为1 8082 187.(2)X的可能取值为4,5,6,7.P(X=4)=234+134=1781,P(X=5)=C4323413+C4313423=827,P(X=6)=C53234132+C53134232=200729,P(X=7)=C63234133+C63134233=160729,随机变量X的分布列为X4567P1781827200729160729∴E(X)=4×1781+5×827+6×200729+7×160729=4 012729.5.(2022届湖南天壹名校联盟摸底,21)有甲、乙两个袋子,甲袋中有2个白球2个红球,乙袋中有2个白球2个红球,从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换.(1)一次交换后,求乙袋中红球与白球个数不变的概率;(2)二次交换后,记X为乙袋中红球的个数,求随机变量X的分布列与数学期望.解析　(1)甲乙两袋交换的均是红球,则概率为C21C41·C21C41=14,甲乙两袋交换的均是白球,则概率为C21C41·C21C41=14,所以乙袋中红球与白球个数不变的概率为14+14=12.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,由(1)得,一次交换后,乙袋中有2个白球2个红球的概率为12,乙袋中有1个白球3个红球的概率为C21C41·C21C41=14,乙袋中有3个白球1个红球的概率为C21C41·C21C41=14,则P(X=0)=14×C11C41·C11C41=164,P(X=1)=14×C11C41·C31C41+C31C41·C11C41+12×C21C41·C21C41=732,P(X=2)=14×C31C41·C31C41+14×C31C41·C31C41+12×C21C41·C21C41+C21C41·C21C41=1732,P(X=3)=14×C11C41·C31C41+C31C41·C11C41+12×C21C41·C21C41=732,P(X=4)=14×C11C41·C11C41=164,所以随机变量X的分布列为X01234P1647321732732164所以E(X)=0×164+1×732+2×1732+3×732+4×164=2.6.(2022届山东平邑一中收心考,21)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,彻查人口出生变动情况以及房屋情况.为了普及全国人口普查的相关知识,某社区利用网络举办社区线上全国人口普查知识答题比赛,社区组委会先组织了A、B、C、D四个小组进行全国人口普查知识网上答卷预选比赛,最终每个小组的第一名进入最后的决赛;其中甲、乙两人参加了A组的小组预赛,结果两人得分相同,为了决出进入决赛的名额,该社区组委会设计了一个决赛方案:①甲、乙两人各自从5个人口普查问题中随机抽取3个.已知这5个人口普查问题中,甲能正确回答其中的3个,而乙能正确回答每个问题的概率均为12,甲、乙两人对每个人口普查问题的回答是相互独立、互不影响;②答对题目个数多的人获胜,若两人答对题目数相同,则由乙再从剩下的2个题中选一个作答,答对则判乙胜,答错则判甲胜.(1)求甲、乙两人共答对2个人口普查问题的概率;(每答对一次算答对一个问题)(2)记X为乙答对人口普查问题的个数,求X的分布列。