九年级数学上册 第四章《图形的相似》4.7 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形中特殊线段的性质同步练习 （新版）北师大版.doc

17 7 第第 1 1 课时课时 相似三角形相似三角形中特殊线段的性质中特殊线段的性质知识点 对应高、对应角平分线、对应中线的比1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为 ，则△ABC与△DEF对应角平分3 4线的比为( )A. B. C. D.3 44 39 1616 92．如图 4－7－1，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为( )图 4－7－1A. B. C. D.3 25 27 29 23．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′的对应高的比为________．4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知＝ ，B′D′＝4，则BD的长是________．AC A′C′3 225．如图 4－7－2 是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽 40 mm，焦距是 60 mm，求所拍摄的 2 m 外景物的宽CD.图 4－7－26．已知△ABC∽△A′B′C′且相似比为 ，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为 ，1 34 3则△ABC与△A″B″C″的相似比为( )A. B. C. D. 或1 49 44 99 44 97．如图 4－7－3 所示，某校宣传栏后面 2 m 处种了一排树，每隔 2 m 一棵，共种了 6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离 3 m 处，正好看到这排树两端的树干，其余的4 棵树均被挡住，那么宣传栏的长为________m．(不计宣传栏的厚度)图 4－7－3 图 4－7－48．[2016·安顺] 如图 4－7－4，矩形 EFGH 内接于△ABC，且边 FG 落在 BC 上，若AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝ EH，则 EH 的长为________．2 39．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面示意图如图 4－7－5 所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端 A，D 之间的距离为 50 cm，那么横梁 EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)3图 4－7－510．如图 4－7－6，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边EF 在 BC 上，顶点 G，H 分别在 AC，AB 上，AD 与 HG 的交点为 M.(1)求证：＝；AM ADHG BC(2)求矩形 EFGH 的周长．图 4－7－611．如图 4－7－7 所示，有一侦察员在距敌方 200 m的 A 处发现敌人的一座建筑物DE，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为 40 cm，食指的长约为 8 cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物 DE 的高度吗？请写出你的4推理过程．图 4－7－712．一块三角板的一条直角边 AB 的长为 1.5 m，面积为 1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法如图 4－7－8①②所示，请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图 4－7－813．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图 4－7－9①，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD是△ABC 的完美分割线；(2)如图②，在△ABC 中，AC＝2，BC＝，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以2CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线 CD 的长．5图 4－7－96详解详解1．A2．D [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴＝.∵AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，∴ ＝，解得B′E′＝ .AD A′D′BE B′E′4 36 B′E′9 23. 4.68 35．解：由题意，可知△ABE∽△DCE，∴＝，解得CD＝ .0.04 CD0.06 24 3答：所拍摄的 2 m 外景物的宽CD为 m.4 36．C [解析] 设△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″的一组对应边的长分别为x，y，z.∵△ABC∽△A′B′C′且相似比为 ，1 3△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为 ，4 3∴ ＝ ， ＝ ，即x＝ ，z＝，x y1 3y z4 3y 33y 4∴ ＝ ，即△ABC与△A″B″C″的相似比为 .故选 C.x z4 94 97．6 8．3 29．解：如图，过点C作CM∥BA，分别交EF，AD于点N，M，过点C作CP⊥AD，分别7交EF，AD于点Q，P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm，∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，∴＝，即＝，NF MDCQ CPNF 3032 40解得NF＝24(cm)．∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为 44 cm.10．解：(1)证明：(证法一)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC.∵AD⊥BC，EF∥GH，∴AM⊥HG，∴＝；AM ADHG BC(证法二)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD，∴＝，＝，∴＝.HG BCAH ABAM ADAH ABAM ADHG BC(2)由(1)得＝.AM ADHG BC设HE＝x cm，则HG＝2x cm，∵AD⊥BC，∴DM＝HE，∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝(30－x)cm.可得＝，解得x＝12，2x＝24.30－x 302x 408故矩形EFGH的周长为 2×(12＋24)＝72(cm)．11．解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，并延长交DE于点F.∵BC∥DE，∴AF⊥DE，∠D＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝，DE BCAF AG∴DE＝＝＝40(m)．AF·BC AG200 × 0.08 0.4答：敌方建筑物DE的高度为 40 m.12．解：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，得BC＝2 m.在题图①中，设甲同学加工的正方形桌面的边长为x m.∵DE∥AB，∴Rt△CDE∽Rt△CBA，∴＝，CD CBDE BA即＝，解得x＝ ；2－x 2x 1.56 7如图，在题图②中，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P.AC＝＝＝2.5(m)，AB2＋BC21.52＋22BH＝＝＝1.2(m)．AB·BC AC1.5 × 2 2.5设乙同学加工的正方形桌面的边长为y m.9∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，DE ACBP BH即＝，解得y＝.y 2.51.2－y 1.230 37∵ ＝>，即x>y，6 730 3530 37∴x2>y2，∴甲同学的加工方法更好．13．解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝ ∠ACB＝40°，1 2∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形．∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．(2)由题意得△BCD∽△BAC，∴＝.BC BABD BC∵AC＝AD＝2，BC＝，2设BD＝x，则AB＝x＋2，∴＝，2x＋2x2解得x＝－1±，310∵x＞0，∴BD＝x＝－1.3∵△BCD∽△BAC，∴＝.CD ACBD BC∵AC＝2，BC＝，BD＝－1，23∴CD＝＝×2＝－.BD·AC BC3－1262。