缺陷识别反问题的研究.pdf

第28卷 第3期力 学 进 展Vol128 No131998年8月25日ADVANCES IN MECHANICSAug125 , 1998缺陷识别反问题的研究状况 与若干进展收稿日期: 1996 - 06 - 13 ,修回日期: 1997 - 05 - 10柳春图 陈 卫 江中国科学院力学研究所,北京 100080摘 要 简要回顾了缺陷识别反问题的发展状况,评述了几类典型识别方法:基于势函数理论的电学法,静态BEM优化迭代法,射线法, T矩阵法, Born近似法,边界积分方程及边界元法.介绍了作者建立的裂纹及夹杂识别的迭代优化法.指出了缺陷识别反问题需要研究的主要问题.关键词 断裂力学,缺陷识别,缺陷识别反问题,反演方法1 引 言断裂力学及其相关学科是本世纪固体力学发展的重要分支,它们的研究成果将古典强度理论向前推进了一大步.按照现代工程技术的要求,对于含裂纹或缺陷的结构,必须由断裂力学等学科的理论作强度分析和校核.由于工程应用的强烈需求,四十年来断裂力学等学科一直是固体力学研究的重要研究方向,并已取得丰硕成果,然而应用这些成果有一个明显的前提条件,即必须事先已知裂纹或缺陷在结构中的位置和几何参数,因此缺陷识别问题几乎在同时就引起了关注,并在近十多年成为力学和工程界的研究热点.缺陷识别在技术上是无损探伤的主要任务,在理论上则属于固体力学或断裂力学反问题的研究内容.无损探伤也称无损检测,它是指在不损害材料或构件的情况下,采用物理、化学等方法和手段,探测被检对象内部和表面的各种缺陷.据统计已有的检测方法多达七十余种[1],在已有的无损探伤技术中,几乎所有形式的能量都曾用于确定结构的内部性质,其中射线检测、电磁检测和超声检测等技术已有广泛应用.从原理上讲,这些方法都是首先由探头测量出缺陷对外界激励的响应,再使用适当的方法作识别分析.探伤技术的发展经历了由定性分析到定量分析两个阶段,早期的探伤主要是定性检测,其作法是依靠经验和半经验方法,结合使用最基本的物理公式分析测量信号,这对于发现缺陷是有效的,但由于对信号缺乏深层次的解释和破译,因此无法对缺陷作进一步的几何定性分析.随着现代工业技术的不断提高,特别是航空航天、核和微电子等工业的进步,定性检测的结果已不能满足实际需要,这就对探伤技术提出了新的挑战,检测技术的发展重点已转向定量检测,即在发现缺陷的基础上,进一步精确确·163·© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.定其位置和形状参数.定量检测目前还面临重重困难,究其原因,除了在测量技术上的难点 外,主要是对测量信息的利用率还不高,缺少破译信息的强大软件.对此工程和学术界一致认 为,一方面需要改进探伤设备的硬件水平,提高信号测量的精度;另一方面则需要深入研究反问题理论,提高对信息的破译水平. 理论上反问题有多种描述方式,现在通常归结为微分方程反问题.我们知道微分方程的正 问题是寻求其定解问题的解,即寻求满足特定辅助条件的微分方程的解.相对正问题,微分方 程的反问题则是由微分方程解的某种泛函,来确定方程的系数、右端或解的定义域.工程中的 大多数问题可以归结为微分控制方程L u =0, X∈/Ωf ( X) ,X∈Ω力学其中,f ( X)是源函数,L通常为二阶微分算子,其系数取决于源及其周围介质的物理特性. 则反问题一般可表述为如下两种类型[2]: (1)给定方程解的部分信息,要求反推方程的右端或定解域的形状;(2)给定方程解的部分信息,要求重建方程的系数.应当强调指出,反问题的理论虽然与正问题有密切联系,但又有其自身的特点,其中反问 题的高度非线性和解答所固有的不适定性,使反问题的求解通常比正问题困难得多,目前还没 有完备的理论体系[1～4].本文关心的缺陷识别是未定边界问题,因此属于第一种反问题,限 于篇幅和作者的水平,本文重点介绍缺陷识别反问题的几类理论方法和作者的部分工作,并就实验方法作简单介绍,最后就此类反问题理论上存在的困难和问题作分析及讨论.2 基于势函数理论的电学法电测法是探伤技术中发展最早的方法之一,它在工业和医学等领域中有较广泛的应用.理 论上,可归结为求解如下Laplace或Possion方程的反问题Δ«=0 或 Δ«+ Q =0(1a,1b)由于控制方程比较简单,在方法的研究上已有大量工作,其中具有代表性的是阻抗CT 法[5～7]和电势CT法[8～10],以下作简单介绍.211 阻抗CT法 阻抗CT法(Impedance CT)提出于70年代末[11],其基本思想是通过对介质表面的阻抗(电阻)测量,重建介质的内部构形, Murai首先研究了医学中的人体器官检测阻抗CT法[7],目的是检查病变引起的器官变形,这实际上相当于缺陷识别或两种介质的界面识别问题.如图1所示,假定 Ω与Ω2具有不同的电导率σ1和σ2,将一对低频电流加在电极( A , B)上,而在 另一对测点( C , D)上测量电势差 «CD.当施加电流I时,电极对( A , B)与( C , D)之间的传 递阻抗为Zi=«CD/ I , i =1,2,⋯, N(2)式中,下标i对应于第i对测点( C , D).问题的控制方程为Laplace方程(1a) ,因此其正问 题可由常规BEM求解. Murai使用了间接方法求解反问题,具体作法是首先假定初始近似的界面,再使用BEM正问题解法,计算得到对应的传递阻抗 ?Zi,如果条件 ∑Ni= 1|Zi-?Zi|Φε得到·263·© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.满足,则已获解答(一般不会这样巧合) ,否则通过B EM算法反复迭代修正近似的界面,直 到上述条件得到满足,由此确定所求界面. Murai的方法从算例看是有意义的,但应具备两个 前提,其一是对界面的初始猜测必须十分精确;其二是必须有足够多的测点.图1 阻抗CT法识别人体器官界面212 电势CT法当电流通过带裂纹的导体时,电势分布的变化与裂纹的位置和形状有直接关系,电势法正是由此为前提的[12]. 80年代后期, Kubo等人又进一步提出了电势CT法[8～10],该方法结合使用电势法和边界元法,在裂纹识别问题上取得了一定进展.按照Kubo的作法,问题的控制方程仍为Laplace方程.从物理学原理可明显看出,裂纹面的法向不能通过电流,因此裂纹的表面应满足齐次通量条件 5«/5n |crack=0 .一般边界上只能给定Dirichlet或Neumann条件,假定通过测量在部分边界上同时已知两种条件,便得到了所谓的超定边界(Over - prescribedboundary) , Kubo证明以此作补充条件,当裂纹为直线型(二维)和平片型(三维)时,可由两至三种不同加电方式的测量结果唯一识别裂纹.在求解上, Kubo将其转化为裂纹几何参数的优化问题,目标函数如下R =∫ S3W [«(C)-«(M)]2dS(3)其中,W为选定的权因子,«(C)是由计算得到的,«(M)则是由测量得到的.当R足够小时,即得到识别的裂纹参数.3 基于静态弹性力学的识别方法上节介绍的电学法对介质的电学性质有较高要求,因此适用范围受到了一定的限制,而固体力学的方法在近十年中被学术界看好,并显示了较好的发展前景.静态弹性力学理论曾在结构的外形优化设计和残余应力识别等反问题中得到应用[13]; Benzerra和Saigal首先结合使用BEM和优化方法研究了缺陷的识别问题[14],本文作者则进一步研究了裂纹和夹杂的识别问题,使用边界积分方程方法和迭代优化技术,建立了一种以静态边界位移和应变测量为补充条件的缺陷和裂纹识别方法[15],迭代中正问题的数值求解分别采用了常规BEM和由作者提出的新型裂纹边界积分方程算法[16],结果表明在测量点充分、选位合理的前提下,该方法具有收敛快、识别精度好的特点.311 正问题的求解方法对于如图2 (a)所示的平面裂纹问题,作者在文[16]中导出了如下一组混合型边界积分方程,其中,在裂纹线上满足以位错密度为未知量的Cauchy型积分方程,在外边界仍采用·363·© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.常规边界积分方程1 2uk(y) =∫ S[ti(η) Uik(η,y) - ui(η) Tik(η,y)dS(η) -∫ba∫bη1T+ik(η3, y)dη3方 法使 用Δui,1(η1)dη1k =1,2, y∈S(4) ∫S[ti(η) T+ ki(η,y1) + Kik(η,y1) ui(η) ]dS(η) +A π∫baΔuk,1 η1- y1dη1= qk(y1)k =1,2, y1∈(a,b) 其中Uik,Tik是问题的基本解,qk=σk2|crack是裂纹面上的载荷,A =μ/2(1-υ),Kik为已 知可积性积分核,该方程组可结合使用边界元及奇异积分方程算法离散为一组线性方程求解, 详细过程这里不再罗列.这种方法的优点是求解精度高,避免了常规BEM算法需沿裂纹线切 割的不便,更适于裂纹识别反问题.图2对于如图2 (b)所示的平面弹性夹杂问题,假定两种介质界面上满足位移和应力连续的 条件,则可分别在子区域 Ω和Ω1建立方程,再结合使用界面连续性条件,导出如下一组常规边界积分方程1 2uk( y) =∫ S+Γ[ ti(η) Uik(η, y) -ui(η) Tik(η, y)dS (η) ,k =1,2, y∈S +Γ1 2uk( y) = -∫Γ[ ti(η) U3 ik(η, y) -ui(η) T3 ik(η, y) ]dS (η) ,k =1,2, y∈Γ(5)其中U3 k,T3 ik为区域Ω1对应的基本解,积分是关于弧长的,边界 Γ的法向已统一取为内法 向.上述方程可由常规的边界单元算法,离散成以边界S +Γ上的位移或力为未知量的线性方 程组求解.312反问题的迭代优化方法} 直接借用优化迭代方法,可将反问题归结为关于缺陷和裂纹有关几何参数的标准非线性优 化问题,具体作法如下: 假定在部分已知力的外边界上通过测量得到了一些离散点的位移(或应变) ,则这些点成 为超定边界点.我们的研究表明以此作为补充信息,对于识别具有有限几何参数的缺陷及裂纹效果良好.迭代优化的无量纲目标函数可简单取为R =∑Nk =1∑2i =1[ ui( xk) -u3 i( xk) ]2∑Nk =1∑2i =1[ u3 i( xk) ]2或 R =∑Nk =1∑2i =1[εi( xk) -ε3i( xk) ]2∑Nk =1∑2i =1[ε3i( xk) ]2(6)·463·© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.式中,N为测量点的数目,u3 i和ε3 i是经测量得到的真实位移和应变(沿切线方向) ,ui和εi则 是由计算得到的近似位移和应变(沿切线方向) .如果ξ= (ξ1,ξ2,⋯,ξm)表示待识别的缺陷或裂纹参数,则反问题就归结为寻求最优参 数ξ,使目标函数R取最小.优化参数ξ,可按以下步骤作修正迭代ξ( n+1)=ξ( n)+ ld( n)(7)其中,l为优化步长,d( n)是第n步参数搜索方向,可由最速下降法确定[15]d = -grad( R) |grad( R) |(8)式中,梯度是关于参数ξ的.另外我们使用以下判别式,作为迭代的收敛标准R( n)<δ1, |R( n)-R( n-1)| <δ2(9)其中,δ1,δ2是给定的小正数,第一式表示无量纲目标函数小于预定尺度,第二式则表示收敛 的一致性条件.313 算例与讨论 假定一210 m×1。