2011第三章行波法.ppt

1问题的引入(1)(2)(3)行波法达朗贝尔公式3.1 达朗贝尔公式 定解问题行波法 用行波法求解波动方程的基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解评述：这一思想与常微分方程的解法是一样的关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程一）波动方程的达朗贝尔公式 3将 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除：当a=1，相当于沿 x 和 t 求导，变 成沿对角线求导当 a 不为1，则求导的线进行相应的角度变化变换：和显然，坐标变换4(1) 通解 对 积分：积分常数依赖于 再积分：以f2为例讨论其意义作坐标变换：新坐标的时间与旧坐标同，新坐标的原点 X=0 在旧坐标中以速度 a 运动；函数的图像在动坐标系中保持不变f2(x-at) 是以速度 a 沿 x 轴正方向运动的行波,f1(x+at)是以速度 a 沿 x 轴反方向运动的行波5确定待定函数的形式无限长，即无边界条件设初始条件为和(2)达朗贝尔公式 6设初速度为零由达朗贝尔公式 7x1x2t=0t1t2t3t48依赖区间决定区域影响区域特征线特征线法特征方程9对于一般的二阶线性偏微分方程来说，它的特征方程为这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程的特 征曲线。

可以看到，特征线仅与二阶导数项的系 数有关，而与低阶项系数无关但是，并不是任意二阶线性偏微分方程都有两 族实的特征线10每一点不存在实的特征线每一点仅有一条实的特征线每一点有两条实的特征线椭圆型方程抛物型方程双曲型方程拉普拉斯方程热传导方程波动方程11求下列柯西问题（二）端点的反射一个端点固定设初始条件为和边界条件达朗贝尔公式是无限长弦的公式由于自变量限制为x0t>x/a时，上式后两项无意义，必须将 u(x,t) 延拓到这个范围，作奇延拓：半无限长弦的自由振动1213半波损失只有初始位移，没有初始速度开始反射14一个端点自由设初始条件为和边界条件应该是偶延拓15无半波损失只有初始位移，没有初始速度开始反射16从达朗贝尔公式可以看出，波动方程的解，是初始条件的演化方程本身并不可能产生出超出初始条件的，额外的形式来而这种演化又受到边界条件的限制这就说明了初始条件和边界条件在确定波动方程的解时的重要性达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波的叠加 17183.2 三维波动方程的泊松公式考虑在三维无限空间的波动问题这个定解问题仍可用行波法来求解，不过由于坐标 变量有三个，不能直接使用上节的通解公式。

下面 先考虑一个特例193.2.1 三维波动方程的球对称解如果将波函数u用空间球坐标 来表示， 所谓球对称就是指u与 都无关在球系中，波 动方程表示为：当u不依赖于 时，这个方程可简化为20或但所以最后得到方程这是关于ru的一维波动方程，其通解为213.2.2 三维波动方程的泊松公式既然在球对称的情况下，函数ru满足一维波 动方程，可以求出通解；那么在不是球对称的情 况下，能否设法把方程也化成可以求出通解的形 式？不考虑波函数u本身，而是考虑u在以 M(x,y,z)为球心，以r为半径的球面上的平均值， 则这个平均值当x,y,z暂时固定后就只与r,t有关 2223对原方程的两端在 所围成的球体 内 积分，以 (x’,y’,z’)表示流动点的坐标24等式左边的积分也采用球面坐标表示并交换 微分运算和积分运算的次序，得25代回之前的式子，有在此式两端对r微分一次，并利用变上限定积分 对上限求导的规则，得26或但故得这是一个关于 的一维波动方程 ，它的通解为27下面的任务是利用初始条件定出方程的解 。

但所以28由此可解得代回通解表达式有29此外，还可利用将u(r,t)拓广到r<0的范围内，并且比较上面两式可 知即u(r,t)是r的偶函数，同理 也是偶 函数 30令r→0，并利用洛必达法则得到 或简记为 三维波动方程的泊松公式 313.2.3 泊松公式的物理意义公式当中可以看出，为求出定解问题在M 处的值，只需要以M为球心，以at为半径作出球 面 ，然后将初始扰动 代入上式进行 积分惠更斯原理或无后效现象球面波32降维法二维波动方程将沿着球面 的积分转化为沿圆域内的积分33其中S1和S2 分别表示球面 的上半球面与下半 球面由于被积函数不依赖于变量z，所以上式右端两 个积分是相等的即将右端的曲面积分化成二重积分可得34同理有最后有柱面波353.3 冲量定理法解的分解齐次边界条件的齐次方程零初值非齐次方程 (冲量定理法)1、冲量定理法的基本思想1）持续作用力看成前后相继的瞬时力的叠加；定解问题中，持续力是作用时间0--t表为瞬时力的叠加36F(x,)(t-)d为作用在短时间区间(,+d)上冲量为F(x,)d 的“瞬时”力，该瞬时力引起的振动记为2）持续力引起的振动看成是瞬时力引起振动的 叠加。

瞬时力引起的位移所满足的方程由于瞬时力作用时间(,+d) 极短，作用结束后弦线来不及振动由冲量定理判断其作用后的 速度，考虑单位长度的弦：372、数学检验：边界条件：初始条件：积分号下的求导公式：38非齐次方程例2:解：由边界条件：带入泛定方程：39带入初始条件：由初始条件决定由外力决定40当趋向于某个特征频率k，则有41这说明当 = k时，对应于第k个特征频率k的振动元素的振幅随时间的增加而增大，这种现象称为共振输运方程解例 3解42。