2022年纳维-斯托克斯存在性与光滑性.docx

纳维- 斯托克斯存在性与光滑性纳维- 斯托克斯存在性与光滑性 是有关 纳维－斯托克斯方程 其解的数学性质有关的数学问题,是美国克雷数学争论所 在 2000 年提出的 7 个千禧年大奖难题 中的一个问题.纳维－斯托克斯方程是 流体力学 的重要方程,可以描述空间中 流体（液体或气体）的运动.纳维－斯托克斯方程的解可以用到许多实务应用的领域中.不过对于纳维－斯托克斯方程解的理论争论仍 然不足,特殊纳维－斯托克斯方程的解常会包括 紊流.虽然紊流在科学及工程中特殊的重要,不过紊流仍是未解决的物理学问题 之一.许多纳维－斯托克斯方程解的基本性质都尚未被证明.例如数学家就尚未证明在三维坐标,特定的初始条件下,纳维－斯托克斯方程是否有符合光滑性的解.也尚未证明如这様的解存在时,其 动能有其上下界,这就是“纳维 - 斯托克斯存在性与光滑性”问题.由于明白纳维－斯托克斯方程被视为是明白难以捉摸的紊流现象的第一步, 克雷数学争论所 在2000 年 5 月供应了美金一百万的奖金给第一个供应紊流现象相关资讯的人,而不是给第一个创建紊流理论的人.基于上述的想法,克雷数学争论所设定了以下具体的数学问题：证明或反证以下的表达 ：在三维的空间准时间下,给定一起始的速度场,存在一矢量的速度场及标量的压强场,为纳维－斯托克斯方程的解,其中速度场及压强场需中意 光滑及全局定义的特性.目录. 1 纳维－斯托克斯方程. 2 二种条件：无边界及周期性的空间. 3 在整个空间下问题的说明o 3.1 假设及无穷远处特性o 3.2 在整个空间中的千禧年大奖难题描述. 4 周期性问题的说明o 4.1 假设o 4.2 周期性的千禧年大奖难题描述. 5 部分结果. 6 脚注. 7 参考资料. 8 外部链接可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1 纳维－斯托克斯方程以数学的观点 来看,纳维－斯托克斯方程是一个针对任意维度矢量场的 非线性偏微分方程 .在物理及工程的观点 看,纳维－斯托克斯方程是一个用 连续介质力学 描述液体或非稀疏气体运动的方程组.此方程是以 牛顿其次运动定律 为基础,考虑一 黏滞性牛顿流体 的全部受力,包括压强，黏滞力及外界的体积力.由于克雷数学争论所提出的问题是以三维空间下, 不行压缩的匀质流体为准, 以下也只考虑此条件下的纳维－斯托克斯方程.令 为描述流体速度的三维矢量场,且 为流体压强 [note 1] .纳维－斯托克斯方程为：其中为动黏滞度为外力为梯度运算子为拉普拉斯算子 ,也可写为上述方程是矢量方程,可以分解为三个标量的方程,将速度及外力分解为三个坐标下的重量：就纳维－斯托克斯方程可写成以下的形式, ：其中的未知数有速度 及压强 .由于只考虑三维空间,因此有三个方程及四个未知数,分别是速度的三个重量及压强,仍需要一个方程才能解出全部的未知数.这个新增的方程是描述流体不行压缩性 的连续性方程 ：由于最终一个方程,纳维－斯托克斯方程解的速度会是无 散度的矢量函数.对于在均匀介质中的无散度流,其密度及动黏滞度为定值.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2 二种条件：无边界及周期性的空间克雷数学争论所提出的纳维 - 斯托克斯问题,有二种不同的条件.原始问题是在整个空间 中,需要有关初始条件及解随位置变化的额外资讯. 为了不要考虑初始条件及解在无穷远处的特性, 纳维-斯托克斯方程也可以设定在一个周期性的空间中,因此不需考虑方程在整个空间 ,只需考虑方程在一个 3 维环面 下的特性.以下会分别处理这二种条件下的问题.3 在整个空间下问题的说明3.1 假设及无穷远处特性初始条件 假设是 光滑及无散度的函数,使得对于每一个 多重指标 及 ,存在一常数（此常数会依 及 K 而变化）使得对于全部外力 假设也是一个光滑函数, 中意一个特殊类似的不等式 （此时多重指标也包括时间的导数） ：for all考虑其实际的物理意义,此条件下的解需是光滑函数,当 时不会快速增加.更精准地说,有以下的假设：1.2. 存在一常数 使得 对于全部的条件 1 表示此函数为光滑，全局定义的函数,条件 2 表示此解的 动能在全局中有上下界.3.2 在整个空间中的千禧年大奖难题描述(A) 在 空间下纳维 - 斯托克斯方程解的存在性及光滑性可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载令 .对于全部符合上述假设的初始条件 ,纳维- 斯托克斯方程存在一光滑及全局定义的解,就是存在一速度矢量 及压强 中意上述的条件 1 及 2.(B) 下纳维 - 斯托克斯方程解存在性的反证存在一初始条件 及外力 使得纳维 - 斯托克斯方程不存在一解中意上述条件 1 及 2.4 周期性问题的说明4.1 假设此处的函数需中意对于位置变量的周期性,其周期为 1.更精准地说,令 为 j 方向的单位矢量：就 对位置变量有周期性也就表示对于任何的 ,以下的式子均成立：因此方程不是在整个空间,而是在一 商空间 ,也就是一个 3 维环面：有上述的说明后,可以说明需要的假设.初始条件 假设是一个光滑及无散度的函数,外力也是一个光滑函数.中意以下的条件：3.4. 存在一常数 使得 对于全部和之前的条件类似,条件 3 表示函数是光滑及全局定义,条件 4 表示此解的 动能在全局中有上下界.4.2 周期性的千禧年大奖难题描述(C) 空间下纳维 - 斯托克斯方程解的存在性及光滑性可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载令 ,对于任何中意上述假设的初始条件 ,纳维 - 斯托克斯方程存在一光滑及全局定义的解,就是存在一速度矢量 及压强 中意上述的条件 3 及条件 4.(D) 下纳维 - 斯托克斯方程解存在性的反证存在一初始条件 及外力 使得纳维 - 斯托克斯方程不存在一解中意上述条件 3 及条件 4.5 部分结果1. 二维空间下的纳维 - 斯托克斯问题已在 1960 岁月得证：存在光滑及全局定义解的解.2. 在初速 相当小时此问题也已得证：存在光滑及全局定义解的解.3. 如给定一初速 ,且存在一有限， 依 而变动的时间 T,使得在 的范畴内,纳维- 斯托克斯方程有平滑的解,仍无法确定在时间超过 T 后,是否仍存在平滑的解.4. 数学家 让·勒雷 在 1934 年时证明白所谓纳维 - 斯托克斯问题 弱解的存在,此解在平均值上中意纳维- 斯托克斯问题,但无法在每一点上中意.6 脚注1. 更精准地说, 是流体压强除以流体密度后的商,对于不行压缩的匀质流体,密度为确定值.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载。