《完全解读》冀教版数学九年级上（教学案）：第24章一元二次方程.pdf

第二十四章一元二次方程本/章/整/体/说/课C教学目标知识与技能1.经历从实际问题出发建立一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系 的重要模型,进一步发展符号感.2.了解一元二次方程及方程的解的概念,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数 的一元二次方程.3.会用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况.4.了解一元二次方程的根与系数之间的关系.5.在了解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想.6.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求得结果，能根据具体的问题的实 际意义检验结果的合理性.”过程与方矛1.通过一元二次方程概念的学习,培养学生对概念理解的完整性和深刻性.2.通过对一元二次方程解法的探究，培养学生数学推理的严密性及严谨性,同时培养学生 寻求简便方法的探索精神及创新意识.3.通过列一元二次方程解应用题，进一步培养学生建立数学模型的能力，同时提高学生分 析问题、解决问题的能力.1.通过学习一元二次方程的概念，体会类比思想在数学中的应用.2.通过学习配方法、因式分解法解一元二次方程，向学生渗透转化思想在研究数学问题 中的应用，同时体验知识之间的联系，激发学生爱数学、学数学的兴趣.3.通过对求根公式的推导晌学生渗透数学中的分类思想.4.体会数学来源于生活，又应用到生活,由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法,培养学生应用数学解决问题的意识.修教材分析方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，它是初中数 学中的基础内容，在初中数学中占有重要地位,一元二次方程是在学习了一元一次方程、二元 一次方程（组）、不等式知识的后继学习，它和学习一元一次方程、二元一次方程组一样，也可 以表达许多实际问题中的数量关系，是分析和解决许多实际问题的重要的数学模型之一.本 章在初中代数中起着承前启后的作用，一方面对以前学过的一些内容进行综合应用,如探究 解方程的方法时开平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知识都有应用,另一方 面，一元二次方程又是前边所学知识的继续和发展，是学好二次函数不可缺少的知识，也是学 好高中数学的奠基工程.本章主要让学生进一步体会在实际问题中建立方程模型，一元二次方程的概念、基本解 法及应用都是重要的基础知识，解方程的基本思想是化归思想，将“二次”方程转化成两个“一 次”方程求解,蕴含了重要的数学思想和数学方法，其中配方法是初中数学中的基本方法，通过 对配方法的学习，探究出一元二次方程的求根公式，进而探究出根与系数之间的关系.本章内 容自始至终置于实际情景中，使学生充分感受和经历在实际问题中抽象出数学模型，体会方 程是刻画现实世界的一个有效模型，体会数学在实际中的应用价值.通过学习本章内容进一 步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题、解决问题的能力，培养应用数学的意识.a教学重难点【重点1.一荒二次方程及其有关概念.2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.3.能应用根的判别式、根与系数之间的关系解决有关问题.4.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.【难点】1.用配方法解一元二次方程.2.选择合适的方法解一元二次方程.3.在实际问题中寻求等量关系，从而抽象出一元二次方程数学模型.4教学建议1.一元二次方程是初中数学最重要的数学模型之一,通过建立一元二次方程模型解决实 际问题，可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系，所以从实际问题抽象出一元二次 方程的有关概念及数学符号表示，学生用类比思想理解并掌握一元二次方程、解的概念及一 般形式.2.一元二次方程的解法中，渗透“降次，的转化思想，即把方程转化为两个一元一次方程，教 材由实际背景引入，建立一元二次方程模型,探究将二次降为一次的方法，转化为一元一次方 程求解.配方法是推导一元二次方程的求根公式的工具，引导学生用配方法导出求根公式，从 而体会不同解法的优缺点与相互的联系，培养学生灵活解一元二次方程的能力与扎实的运算 功底.3.一元二次方程根的判别式的学习，使学生理解一元二次方程根的存在情况与系数之间 的关系.探究一元二次方程根与系数的关系，不仅为了 一元二次方程理论的完整性，更重要的 是初高中的衔接问题，通过这节课的学习，培养学生学习数学的严谨性和数学思维能力.4.数学来源于生活，并应用于生活中，数学与生活息息相关,应用一元二次方程解决实际 问题，引导学生分析其中的已知量、未知量和等量关系，建立一元二次模型，得出方程的解，并 检验所得的结果是否符合实际,得出具有一般意义的一元二次方程的解法，让学生经历“问题 情景一建立模型 求解验证”的数学活动过程，培养学生建模思想，逐步形成应用意识.短；课时划分24.1 一元二次方程 1课时24.2 解一元二次方程 3课时24.3 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 申I 系.1碟时24.4 一元二次方程的应用 3课时回顾与反思 1课时课/时/教/学/详/案24.1 一元二次方程 区I整体设计K教学目标知识与技能1.理解一元二次方程的概念.2.掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.3.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型.4.理解一元二次方程解的概念.过程与方法1.通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力.2.体会数学来源于生活,又回归生活的理念.3.由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步培养学生数学思维能力.1,培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识.2.激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.3.体会数学知识与现实世界的联系.教学重难点【重点】一元二次方程的概念及一般形式.【难点11.由置、体问题抽象出一元二次方程的转化过程.2.正确识别一般式中的“项”及“系数”.)教学准备【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P3435.国教学过程E新课导入导入一：【课件展示】教材章前图，请同学们阅读章前问题，并回答下列问题：一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端4 处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶 端沿墙面下滑1 m,那么梯子的底端8 在地面上滑动的距离也是1 m 吗？你能列方程解决这个 问题吗？学生分析等量关系:/夕2=力。

8设梯子的底端在地面上滑动的距离xm,于是得方程102=(8-1)2+(6+A)2.整理得*+12x-15=0.【问题】这个方程是不是我们前边学过的方程？导入二：【课件展示】观察下列方程：1 5 2 3x-2=0,X2+2X-3=0,(3)2A+2=0,(4)*_5=0.哪些是我们学过的一元一次方程？其他方程与一元一次方程有什么不同？【师生活动】复习方程、一元一次方程及方程的解的概念.【学生活动】小组合作交流，观察新方程，分析元和次，尝试为新方程定义.设计意图 让学生在实际问题中建立一元二次方程模型，体会数学来源于生活,通过复 习一元一次方程的概念，让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.国 新知构建 过渡语 方程是一类重要的数学模型，在现实生活中具有广泛的应用.在学习了一元一 次方程、二元一次方程组和分式方程的基础上，现在我们来学习一元二次方程.共同探究一教材中观察与思考中的实际问题，设未知数,建立方程模型II-存车处C MII【课件展示】如图所示，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存 车处的一面靠墙(墙长22 m),另外三面用90 m 长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为 700 m2,求这个长方形存车处的长和宽.思路一教师引导学生思考并回答：长 方 形 存 车 处 的 长 与 宽 之 间 的 数 量 关 系 为，该 问 题 中 的 等 量 关 系 为.(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为x m,则它的长为 m,长方形存车处的面积为.由此，我 们 可 以 列 出 方 程，化简得.(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为x m,则它的宽为 m,长方形存车处的面积为.由此，我 们 可 以 列 出 方 程，化简得.【师生活动】教师引导分析，学生回答，通过所设未知数，根据题意列出方程，老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，整理所列出的方程.【课件展示】9 0-x解:(1)设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm,则 它 的 长 为 m.90-x根据题意，可 得 方 程 丁 A=700.整理，得解-90/1400=0.(2)设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为xm,则它的宽为(90-2A)m.根据题意，可得方程(90-2号 产700.整理，得第45心350=0.思路二小组活动，共同探究，思考下列问题：(1)分析题意，题中的已知条件是什么？(2)分析题意，题中的等量关系是什么？(3)如何设未知数，根据题中等量关系怎样列方程？(4)分析下面小明和小亮列方程的做法，他们的解题思路和所列方程是否正确？【课件展示】小明的做法：9 0-X设长方形存车处的宽(靠墙的一边)为xm,则 它 的 长 为 m.90-X根据题意，可得方程k A=700.整理海 M-90A+1400=0.小亮的做法：设长方形存车处的长(与墙垂直的一边)为xm,则它的宽为(90-2x)m.根据题意，可得方程(90-2吊-A=700.整理彳导非45/350=0.【师生活动】教师先出示问题(1)*(3),学生讨论交流后出示问题(4),学生再进行交流.教师在巡视过程中及时解决疑难问题，学生讨论后小组展示结果，教师及时补充和点评.设计意图 师生共同分析探讨实际问题中的等量关系，列出方程,为引出一元二次方程 的概念做铺垫，同时提高学生建立方程模型解决生活中实际问题的能力.共同探究二共同归纳概念请口答下面问题.(1)上面方程整理后含有几个未知数？(2)上面方程中未知数x 的最高次数是几次？(3)方程两边都是整式吗？(4)你能类比一元一次方程的概念，给出一元二次方程的定义吗？【学生活动】小组合作交流，类比一元一次方程定义，尝试给出一元二次方程的定义.老师点评归纳:一元二次方程满足三个条件:(1)都只含一个未知数网2)它们的最高次数 都是2 次;(3)方程两边都是整式.【课件展示】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式方程，叫做一元二 次方程.设计意图 学生通过合作交流，类比一元一次方程的定义得出一元二次方程的定义，体 会类比思想在数学中的应用，同时培养学生归纳总结能力及合作交流能力.过渡语 我们了解了一元二次方程的有关概念，现在同学们比一比谁理解得更透彻吧.【课件展示】请抢答下列各式是否为一元二次方程：(1)2*=9;(2)2*-1=3/4*+3=2用1 3-+(4尸-1*=0;(5)5*-2x+3;(6)2*x+2)=5x-2;(7)3*x-1)=3*-5.【师生活动】学生以抢答的形式来完成该题，并让学生说出判断理由.教师对学生给出 的答案作出点评和归纳，并让学生归纳判断易错点先化简再判断.设计意图 通过抢答进一步强化一元二次方程的概念满足的三个条件,同时提高学生 学习数学的兴趣和积极性.共同探究三一元二次方程的一般形式【思 考 11 类比一元一次方程的一般形式,你能不能写出一元二次方程的一般形式？【课件展示】一元二次方程的一般形式为:a*+/?x+c=O(a*O).其中a*是二次项,a 是二次项系数力x 是一次项力是一次项系数;c 是常数项.【思考2(1)任何一个一元二次方程是否都可以整理成一般形式？(2)一元二次方程的二次项系数为什么不能为0?(任何一个一元二次方程都能化成一般形式;当一元二次方程的二次项系数小0,历0 时,方程为一元一次方程)【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流，教师对学生的展示进行点评、归纳.设计意图 通过概括一元二次方程的一般形式，让学生理解掌握数学符号语言在数学 中的应用,更深入地理解一元二次方程的概念，同时强调了一元二次方程概念中的易错点.过渡语 我们又知道了一元二次方程的一般形式，试试我们能不能完成以下问题.【课件展示】做一做：将下列一元。