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fe I第五章计数原理DI WU ZHANG §2排列1>2.1排列与排列数厕闵（SI昌陆（教师独具内容）课程标准：通过实例，理解排列的概念.教学重点：排列的概念、排列数的概念.教学难点：用两个基本原理分析和解决一些简单的与排列有关的实际问题. 核心素养：1.通过对排列、排列数概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过利用排列、排列数的概念解决问题，培养逻辑推理及数学运算素养.掌握HE XIN GAI NIAN ZHANG WO知识点一排列的概念—般地，从〃个不同元素中取出且〃CN + ）个元素，按照回一定的顺序排成一歹U,叫作从〃个不同元素中取出rn个元素的一个排列.知识点二排列数的概念⑴我们把从〃个不同元素中取出,且m€N + ）个元素的御所有不同排列的个数,叫作从〃个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A?（2）我们把有关求网排列的个数的问题叫作排列问题.排列的定义包括两个基本内容：一是“取出对象”；二是“按照一定的顺序 排成一列”.注意：所研究的〃个对象是互不相同的，取出的仞个对象也是不同的.判断 相除，一个为对数的底数、一个为对数的真数，一个为被开方数、一个为根指数, 进行上述四种运算时，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序 有关，所以②④⑤⑥属于排列问题.7. 在1,2,3,4的排列中，满足。

1>4的排列个数是答案5解析 首先注意切位置的数比2位置的数大，可以借助树形图进行筛选.满足2的树形图如下：c ,‘3—41 ^^2 —42-〈J 3< V—21—2—3、2<1—4/<3-2 J—14V<3=1'〈打从而得出满足题意的排列：2143,3142,3241,4132,4231,共5个排列.8. 有5名大学毕业生，到3个招聘雇员的公司应聘，若每个公司至多招聘一名新雇员，且3个公司全部招到新雇员，若不允许兼职，共有种不同的招聘方案.答案60解析 分三步：第一个公司从5名毕业生中招聘一名，有5种选法；第二个公司从4名毕业生中招聘一名，有4种选法；第三个公司从3名毕业生中招聘一名，有3种选法.由于三个公司都完成了招聘工作，由分步乘法计数原理，知共有5X4X3 = 60（种）不同的招聘方案.三、解答题9. 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次 可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示 多少种不同的信号？解第1类：挂1面旗表示信号，有红，黄，蓝3种不同的方法；第2类： 挂2面旗表示信号，有红黄，黄红，红蓝，蓝红，黄蓝，蓝黄6种不同的方法； 第3类：挂3面旗表示信号，有红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝 黄红6种不同的方法.根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有3 + 6 + 6 = 15种哗10. 将4位司机、4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车 分别配有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？解解决这个问题可以分两步完成.第一步：把4位司机分配到4辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素 中取出4个元素排成一列，有4X3X2X1 =24种方法.第二步：把4位售票员分配到4辆不同班次的公共汽车上，也有24种方法.根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有24X 24 = 576种.B级：“四能”提升训练1. 某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在 123,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排甲、乙、丙这3名运动员比赛的 方式有（）A. 24 种B. 36 种C, 42 种D. 48 种答案A解析 由题意可知，甲、乙、丙三人共有1,3,5,7四条跑道可安排，首先安排 甲，从4条跑道中选择1条，有4种选法，然后安排乙，从剩下的3条跑道中选 择1条，有3种选法，最后安排丙，从剩下的2条跑道中选择1条，有2种选法.由 分步乘法计数原理可知，安排甲、乙、丙这3名运动员比赛的方式有4X3X2 = 24种.故选A.2. A, B, C,。

四名同学重新换座位（每名同学都不能坐其原来的座位），试 列出所有可能的换座位的方法.解 假设A, B, C,四名同学原来的座位分别为1,2,3,4号，列出树形图如图:置号位编\D—4—C /?— C—D— 4 /4—O—C 12 3 4C/I814 /IB /4IB—C 'D/IBJ /4IOIB换座位后，原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有BADC, BCDA,BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DAAC, DCAB, DCBA.一个具体问题是不是排列问题，就看从〃个不同对象中取出m个对象后，再安排这初个对象时，是有序的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列・注意“排列”与“排列数”不是同一个概念.排列是从〃个不同对象中任取秫个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从〃个不同对 象中取出m个对象的所有排列的个数，它是一个数.1. 判一判(正确的打“"”，错误的打“ X ”)(1) 123与321为同一排列.()(2) 在一个排列中，同一个对象不能重复出现.()(3) 从1,2,3,4中任选两个对象，就组成一个排列.()(4) 从5名同学中任选2名同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是 一个排列问题・()答案⑴X⑵"(3)X (4)72 .做■—做(1) 从5个人中选取甲、乙2个人去完成某项工作，这(填“是”或“不是”)排列问题.(2) 从1,2,3中任取两个数字可组成的不同的两位数有个.答案(1)不是(2)6【核素养』【核素养』形成HF XIN AH YANG XING CHFNG题型一排列的概念例1判断下列问题是否是排列问题：(1) 从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2) 从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可 得到多少个不同的点的坐标？(3) 从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方法？(4) 某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出 来，不同的出入方式有多少种？(5) 有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、 乙两个盒子里，有多少种不同的放法？［解］(1)不是.加法运算满足交换律，所以选出的两个数做加法时，与两个 数的位置无关，所以不是排列问题.(2) 是.因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标，哪一个数 作为纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.(3) 不是.因为任何一种从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会的方式 不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题.⑷是.因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题.(5)是.列问题.任取两个球分别放入甲、乙两个盒子里，这是有顺序的，所以这是排廖曲&判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出对象后排列是有序的 还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换对象的“位置”(这里的“位置” 应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题, 无变化就不是排列问题.［跟踪训练1］判断下列问题是否为排列问题：(1) 会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？(2) 从集合心={1,2,…，9}中，任取两个元素作 Mb,可以得到多少个焦必户j点在工轴上的椭圆方程/ +1?可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程/(3) 从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复 的三位数，又有多少种方法？解 ⑴第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题与顺序有关, 故选3个座位安排三位客人是排列问题.(2) 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程#+ *= 1表示焦点在* 轴上的椭圆，则必有a>b, a, b的大小关系一定；在双曲线g-春=1中，不管* V2。

>人还是〈久方程元-乔=1均表示焦点在X轴上的双曲线，且是不同的双曲线, 故是排列问题.(3) 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.从5个数中取3个数，与顺序 无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关.题型二简单的排列问题例2从a, b, c, d, e五个元素中每次取出三个元素，可组成多少个以b 为首的不同排列？它们分别是什么？并计算A?.［解］从q, b, c, d,五个元素中每次取出三个元素组成以力为首的不同 排列分两个步骤：第1步：排以力为首的排列的第2个元素，有4种不同的排法；第2步：排以力为首的排列的第3个元素，有3种不同的排法；由分步乘法计数原理可得，共有A¥ = 4 X 3 = 12个不同的排列.画出树形图如下：I感悟提升］它们分别是QC, bad, bae, bca, bed, bee, bda, bdc, bde, bea, bee, bed.用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法.它能很好地确定 排列中各对象的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复 和遗漏.［跟踪训练2］从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数.(1) 能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数；(2) 若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则 这样的三位数共有多少个？并写出这些三位数・解(1)组成三位数分三个步骤：第1步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法;第2步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第3步：选个位上的数字，有2种不同的排法.由分步乘法计数原理得，共有3X3X2=18个不同的三位数.画出下列树形图：1230分30^2A A A23 03 02AAA1 3030 1A由 树 形 图知 ,所有 的 三位数 为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树形图如图：由树形图知，符合条件的三位数有8个，分别为201,210,230,231,301,302,310,312.随堂水平』达标SUI TANG SHLJI PING DA BIAO1.下列问题是排列问题的是()A. 从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法?B. 10个人互相发一次，共发了多少条？C. 平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线?D. 从123,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？答案B解析 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序 有关的，其他问题都与顺序无关.故选B.2. 高二(1)班准备从甲、乙、丙三名学生中选出两名分别担任班长和副班长,则所有可能的结果有()B. 5种A. 4种C. 6种C. 6种D. 7种答案C解析 因为甲、乙、丙三名学生任何一名都可能当班长，也可能当副班长,列出每一个班长和副班长情况，如图所示：即共有6种结果(前者为班长，后者为副班长)：甲、乙，甲、丙，乙、甲， 乙、丙，丙、甲，丙、乙・3. ⑴在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间 分别作为主队和客队各赛一场).若共有12支球队参赛，问共。