山西省晋中市平遥县部分高中学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学（解析版）.docx

高二数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.2．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在空间直角坐标系中，已知点，则线般的中点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设线般的中点坐标为，则，由空间向量的坐标运算即可求解.【详解】设线般的中点坐标为，由可得，所以可得，所以线般的中点坐标是，故选：A.2. 已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据与的夹角为钝角，所以且与不共线，列出不等式组，即可解出．【详解】由题知，且与不共线，即 ，解得且．故选：B．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角问题，解题关键是向量夹角大小与数量积符号之间的等价转化．3. 若是平面的一个法向量，且与平面都平行，则向量等于（　　）A. （） B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可知，均与法向量垂直，利用空间向量垂直坐标表示，列出方程组求解即可．【详解】因为是平面的一个法向量，且与平面都平行，则，即，解得，所以．故选：D．4. 已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案.【详解】由点，，得线段AB中点的坐标为，故过点且与直线平行的直线的方程可设为，代入点，可得，故所求直线方程为，故选：B5. 若直线：倾斜角为，则“”是“不是钝角”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据一般方程的斜率公式，结合特殊倾斜角情况和充分与必要条件的定义判断即可.【详解】若，则的斜率，则不是钝角.若或，则.故“”是“不是钝角”的充分不必要条件.故选：A6. 已知点，，，若A是直线：和：的公共点，则直线BC的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件说明点与均满足方程，即可得答案.【详解】由点在：上可知，，同理由点在：上可知，故点与均满足方程，由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为，故选：B7. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】因为菱形纸片沿对角线折成直二面角，所以平面平面，因为是菱形，是的中点，所以，，而平面平面，平面，所以平面，而平面，所以，以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，为两个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则，．设平面的法向量为，则得取，则，得平面的一个法向量为，易得平面的一个法向量为，所以平面与平面夹角的余弦值为．故选：A 8. 正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果.【详解】取的中点M，连接，则，则，即，故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球.由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，即动点P的轨迹为正方体的外接球.取的中点N，连接，则.由题可知，，则，，则.所以的最小值为，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知空间中三点则下列说法正确的有（ ）A. B. C. D. 在上投影向量的长度为【答案】ACD【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算，可得答案.【详解】对于A，由，则，故A正确；对于B，由，，因为，所以两向量显然不平行，故B错误；对于C，由，，则，故C正确；对于D，在上投影向量的长度为，故D正确.故选：ACD.10. 直线l过点，倾斜角为，且，则直线l经过点（ ）A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】由二倍角的正切公式求斜率，再由点斜式得到直线的方程，代入点的坐标验证可得.【详解】因为，所以，则直线l斜率为，又直线l过点，所以直线l方程为，即.对方程，令，得，故A正确；令，得，故B正确；令，得，故C正确；将点代入方程左式得，故D错误.故选：ABC.11. 直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】对于A选项，利用两条直线斜率和截距的大小关系进行判定；对于B选项当时，符合题意；对于C选项，当或时，符合题意；对于D选项，根据一条直线斜率不存在即可判断.【详解】对于A选项，两条直线的斜率和截距均大于0，且其中一条直线的斜率和截距均大于另一条直线的斜率和截距，不符合题意，A不正确．对于B选项，当时，符合题意，B正确．对于C选项，当或时，符合题意，C正确．对于D选项，其中一条直线斜率不存在，不符合题意，D不正确．故选：三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 如图，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，O为底面中心，为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若，则与底面所成角的正弦值的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先建立坐标系，设出P点坐标，求出，利用，求出OP的最大值和最小值，从而求解.【详解】由题意，建立空间直角坐标系，如图所示，面，则即为与底面所成角则设，，，由，即得，，则则OP的最小值为，最大值为1，PM的最小值为，最大值为，所以与底面所成角的正弦值的最大值为，最小值为，故答案为：13. 如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________． 【答案】【解析】【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质计算即可.【详解】因为，所以又二面角的平面角大小为，四边形，均为边长为4正方形，所以，，，所以，则．故答案为：14. 某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为________． 【答案】【解析】【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用直线方程得出，，再由面积公式结合二次函数的性质求解.【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形． 由题可知，直线的方程为，直线的方程为．设，其中，则，，则，，四边形的面积．当时，取得最大值．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知，，．是否存在点D，使四边形ABDC为等腰梯形，且?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】不存在，理由见解析【解析】【分析】假设存在点满足条件， 得出向量，的坐标，由四边形是等腰梯形，且，且，求出的值，再检验即可得.【详解】由已知得，，则三点不共线.假设存在点满足条件，则，．因为四边形是等腰梯形，且，所以．即所以，解得或．当，，时，，且三点不共线，故此时四边形为平行四边形，不合题意；当，，时，点与点重合，不合题意．故假设不成立，即不存在满足条件的点．16. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．（1）求A到平面的距离；（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1） （2）【解析】分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，则，解得，所以点A到平面的距离为；【小问2详解】取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，,设平面的一个法向量，则，可取，设平面的一个法向量，则，可取，则，所以二面角的正弦值为.17. 已知直线：.（1）证明无论为何值，直线经过定点，并求出点的坐标；（2）若斜率大于0，且经过（1）中点的直线与轴，轴分别交于，两点，为坐标原点，求面积的最小值.【答案】（1）证明见解析，点的坐标为 （2）4【解析】【分析】（1）利用直线系方程即可证明，运算即可得解.（2）利用直线方程、三角形面积公式、基本不等式运算即可得解.【小问1详解】解：证明：将直线的方程转化为，令，解得，故无论为何值，直线经过定点，且点的坐标为.【小问2详解】解：由题意可设该直线的方程为，令，得；令，得，因为是直角三角形， 所以的面积，当且仅当即时，等号成立，故面积的最小值为4.18. 已知菱形中，，，边所在直线过点．求：（1）边所在直线的方程；（2）对角线所在直线的方程．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；（2）由互相垂直的直线斜率间关系，以及中点，利用点斜式可得直线方程.【小问1详解】由已知得直线，又，边所在直线的方程为：，即【小问2详解】由已知得与互相垂直平分，又，且中点为，，所在直线方程为：，即.19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，E为BC的中点． （1）证明：．（2）若二面角的平面角为，G是线段PC上的一个动点，求直线DG与平面PAB所成角的最大值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）取AD的中点F，可证得，，从而平面PEF，根据线面垂直的性质可得结论；（2）过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，可得平面，以O为原点，OE，OP所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系．写出点的坐标，求出平面PAB的法向量，可得直线DG与平面PAB所成的角的正弦值的表达式，结合换元法及二次函数的性质得出答案.【小问1详解】如图，取AD的中点F，连接PF，EF．∵底面ABCD是正方形，，∴，．∵，平面PEF，∴平面PEF．又∵平面PEF，∴．【小问2详解】由（1）可知，二面角的平面角为，且为，过点P作PO垂直于直线EF，垂足为O，∵平面PEF，平。