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用空间向量解决立体几何问题方法的优化探究 高中数学立体几何，主要考查学生的空间想象能力，考题一般是两道小题和一道大题，占22分左右，近总分的六分之一在新课标理科增加了空间向量部分，我们大多数都知道利用向量工具会给我们带来不少的方便，尤其是在求角和距离时，如果用传统的方法去做题，需要按“做―证―求”三步来完成，最难的莫过于求二面角的大小了，往往是我们做不出二面角，更不用说是求它的大小了空间向量给我们带来了署光，我们只要能够掌握住求角、距离的几个模型和公式，利用空间向量可以轻松的求得要求的角或距离可是在求角和距离的过程中，一般都会与法向量有关，求法向量则需要解利用垂直条件所得到的方程组在解方程组时，我们常常会一不小心算错了哪一个数，这样的后果很严重可是利用向量解题的思路简单，这就使我们有点可望面不可及了好多学生就是因为怕过不了运算关，宁可舍弃这种方法而用传统的方法求解有没有好的方法帮助学生跳过这个坎儿呢？这使我回想起高等教材《解析几何》里有两个向量的矢性积的定义和求两个向量的矢性积的方法，如果能将这个方法移植到立体几何里求法向量，岂不快哉？ 首先我们来看一下两向量的矢性积的定义： 方法一（内积法）：在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量n=（x，y，1）[或n=（x，1，z），或n=（1，y，z）]，在平面α内任找两个不共线的向量a，b。

由nα，得a・b=0且n・b=0，由此得到关于x，y的方程组，解此方程组即可得到n 方法二（外积法） 两向非零量a，b的矢性积（也称外积）是一个向量，记做ab或[ab]，它的模是│ab│=│a││b│sin∠（a，b）（（a，b）表示a与b的夹角且0≤（a，b）≤π），它的方向与a，b都垂直，我们通常按a，b，ab这个顺序构成右手标架{0；a，b，ab}如右图向上的实箭头线为ab的方向，向下的虚箭头线ba的方向.（我们也可以用“右手定则” ，也就是右手四指由 a的方向转为 b的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向 我们从上图中就可以看到，两个向量的矢性积与我们要求的法向量很是接近的，如果能够求得两个向量的矢性积，我们就把它作为这两个向量（或它们所在的平面）的法向量，不就可以达到我们的目的了吗？ 我们从两个向量的矢性积的定义可得到如下性质： （）两向量a与b共线的充要条件是ab=0； （│ab│=│a││b│sin=0）； （2）ab=-ba；（从模长和方向（用右手标架判断）两方面证它们是相反向量） （3）（λa）（μb）=（λμ）（ab）； （4）满足分配律：（a+b）c=ac+bc. 利用上述的性质我信可以证得以下结论成立 结论：如果a=x1i+y1j+z1k， b=x2i+y2j+z2k，则 ab=（y1y2-y2z1）i+（z1x2-z2x1）j+（x1y2-x2y1）k 证明：因为 ab=（x1i+y1j+z1k）（x2i+y2j+z2k） =x1x2（ii）+x1y2（ij）+x1z2（ik）+y1x2（ji）+y1y2（jj）+y1x2（ik）+z1x2（ki）+z1y2（ki）+z1z2（kk） 又因为坐标向量i，j，k是三个两两互相垂直的单位向量，所以有下关系式成立 ii=0，jj=0，kk=0，ij=k，jk=i，ki=j，ji=-k，kj=-i，ik=-j 从而得ab=（y1z2-y2z1）i+（z1x2-z2x1）j+（x1y2-x2y1）k。

非零向量ab即为平面的一个法向量.下面我们还是用具体的实例来看看： 例题 （2012全国新课标卷19题）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，，D是棱A1的中点，DC1BC. （1）证明：DC1BC （2）求二面角A1-BD-C1的大小 【解析】 面， 从而CA，CB，CC1两两互相垂直，以C为坐标原点，CA，CB，CC1依次为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，设CA=1，则，CB=1，CC1=2，A1（1，0，2），B（0，1，0），D（1，0，1），C1（0，0，2），DA1（0，0，1），BD（1，-1，1），BC1（0，-1，2），设平面A1BD的法向量为n=（x，y，z），则， 因此可得n=（1，1，0） 设平面C1BD的法向量为n则可取m=（1，2，1），判定方向，n=（1，1，0）向二面角外，m=（1，2，1）向二面角内部，其二面角的余弦值为 ，又二面角的范围为[0，π]所以所求二面角的大小为30 用空间向量解决立体几何问题“三步曲” （1）立空间直角坐标系（利用现有三条两两垂直的直线，建立右手空间直角坐标系），用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

回到立体几何问题） 通过以上两例的分析，我们可以看到，利用空间向量解决立体几何问题关键是求其法向量，因为几乎所有的角和距离都与平面的法向量有关，求法向量的问题前面我们已经解决了，借用商界流行的一名话“人无我有，人有我优”，用空间向量的方法解决立体几何问题尽管很多人都会用内积的方法，可那容易计算出错，致使全盘皆输使用两向量的矢性积（外积），无疑会使我们有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉 学习的过程是一个不断的反思，不断地追求的过程，最好的方法不是把一种方式转嫁为另外的一种方式，而是将这种方法进行优化，使之变得简单易行第 5 页 共 5 页。