2019届高考数学二轮复习高考大题专项练一三角函数与解三角形B理.pdf

一一 三角函数与解三角形三角函数与解三角形(B)(B) 1.(2018·河北承德模拟)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 2.(2018·金华模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,已知 sin A=sin(B-C)+2sin 2B,B≠ . 𝜋 2 (1)求证:c=2b; (2)若△ABC 的面积 S=5b2-a2,求 tan A 的值. 3.(2018·资阳模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B) =c(sin C-sin B). (1)求 A; (2)若 a=4,求 b2+c2的取值范围. 4.(2018·超级全能生全国联考)已知△ABC 中,AC=4,BC=4,∠ABC = . 2 (1)求角 A 和△ABC 的面积; (2)若 CD 为 AB 上的中线,求 CD2. 1.解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π-(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B, 又 B∈(0,π),所以 B= . (2)△ABC 的面积 S= acsin B=ac. 1 2 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos . 又 a2+c2≥2ac, 故 ac≤,当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为+1. 2 2.(1)证明:△ABC 中,由 sin A=sin(B-C)+2sin 2B, 得 sin(B+C)=sin(B-C)+4sin Bcos B, 展开化简得,cos Bsin C=2sin Bcos B, 又因为 B≠ ,所以 cos B≠0, 所以 sin C=2sin B, 由正弦定理得,c=2b. (2)解:因为△ABC 的面积为 S=5b2-a2, 所以有 bcsin A=5b2-a2, 1 2 由(1)知 c=2b, 代入上式得 b2sin A=5b2-a2,① 又由余弦定理有 a2=b2+c2-2bccos A=5b2-4b2cos A, 代入①得 b2sin A=4b2cos A, 所以 tan A=4. 3.解:(1)根据正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即 a2-b2=c2-bc, 则= ,即 cos A= , 𝑏2+ 𝑐2‒ 𝑎2 2𝑏𝑐 1 2 1 2 由于 016, 所以 b2+c2的取值范围是(16,32]. 4.解:(1)由=, 得 sin∠BAC= , 1 2 又 BCAC,则∠BAC , 解得∠BAC= . 所以∠ACB=, 所以△ABC 的面积 S= ×4×4×sin=4(+1). 1 223 (2)设 AB=x,则在△ABC 中, 由余弦定理得 32=x2+16-8xcos , 即 x2-4x-16=0, 2 解得 x=2+2(舍负), 26 所以 BD=+. 26 在△BCD 中,由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos =16-4. 3 。