数学高考总复习2.3 二次函数与幂函数探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点二次函数与幂函 数1.理解二次函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法.2.理解二次函数的单调性,能判断二次函数在某个区间上是否存在零点.3.理解二次函数的最大(小)值及其几何意义,并能求二次函数的最大(小)值.4.了解幂函数的概念.5.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况.2017浙江,5,4分二次函数在闭区间上的最值二次函数的图象★★☆2015浙江,18,15分二次函数在闭区间上的最值不等式的性质,函数的单调性2015浙江文,20,15分二次函数在闭区间上的最值,二次函数的零点不等式的性质分析解读 1.幂函数主要考查其图象和性质,一般以小题形式出现,难度不大.2.二次函数主要考查其图象和性质以及应用,特别是以二次函数为载体,考查数学相关知识,如求最值、函数零点问题,考查数形结合思想(例:2019浙江16题,2015浙江文20题).3.预计2021年高考试题中,二次函数仍是考查的重点之一.考查仍会集中在二次函数的图象和主要性质,以及求二次函数的最值、二次函数零点分布问题上,复习时应高度重视.破考点 练考向【考点集训】考点 二次函数与幂函数1.(2019浙江金华十校期末,8)若关于x的不等式x3-3x2-ax+a+2≤0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)C.(-∞,3] D.[3,+∞)答案 A 2.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,8)若函数f(x)=x2+ax+b有两个零点x1,x2,且3a2>a3>0且xi>0(i=1,2,3)时,必有( ) A.x1x2>x3C.x1=x2=x3 D.x1,x2,x3的大小不确定答案 A 4.若f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],且|f(x)|的最大值为12,则4a+3b= . 答案 -325.(2018上海,7,5分)已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= . 答案 -1炼技法 提能力【方法集训】方法1 解决一元二次方程根的分布问题的方法1.(2019浙江高考信息优化卷(一),8)已知函数f(x)=x2+ax+b在(0,2)上有两个不同的零点,则3a+b的取值范围为( ) A.(-4,4) B.(-8,0) C.(-12,0) D.(-4,0)答案 B 2.(2019浙江台州期末,16)若函数f(x)=x2+13+ax+b在[-1,1]上有2个零点,则a2-3b的最小值为 . 答案 -13方法2 二次函数的区间最值问题的解法1.(2018浙江绍兴期末,17)已知f(x)=x2-ax,|f(f(x))|≤2在[1,2]上恒成立,则实数a的最大值为 . 答案 3+1742.(2019浙江学军中学期中,21)已知函数f(x)=x2-3|x-a|.(1)若函数y=f(x)为偶函数,求实数a的值;(2)若a=13,求函数y=f(x)的单调递减区间;(3)当0a+1时,不等式(*)可化为6(x-a)-3[x-(1+a)]≤x2+2x-1恒成立,即x2-x+3a-4≥0在x∈(a+1,+∞)上恒成立.令φ(x)=x2-x+3a-4,∵0φ(a+1)=a2+4a-4≥0.∴a≤-2-22(舍去)或a≥22-2,∵22-2<1,∴22-2≤a≤1.综上所述,a的取值范围是[22-2,1].【五年高考】A组 自主命题·浙江卷题组考点 二次函数与幂函数1.(2017浙江,5,4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m( )A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案 B 2.(2016浙江,18,15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},其中min{p,q}=p,p≤q,q,p>q.(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围;(2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解析 (1)由于a≥3,故当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].(2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x2-2ax+4a-2,则f(x)min=f(1)=0,g(x)min=g(a)=-a2+4a-2,所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)},即m(a)=0,3≤a≤2+2,-a2+4a-2,a>2+2.(ii)当0≤x≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0), f(2)}=2=F(2),当2≤x≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}.所以,M(a)=34-8a,3≤a<4,2,a≥4.3.(2015浙江文,20,15分)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)当b=a24+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式;(2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围.解析 (1)当b=a24+1时, f(x)=x+a22+1,故其图象的对称轴为直线x=-a2.当a≤-2时,g(a)=f(1)=a24+a+2.当-22时,g(a)=f(-1)=a24-a+2.综上,g(a)=a24+a+2,a≤-2,1,-22.(2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1≤t≤1,则s+t=-a,st=b,由于0≤b-2a≤1,因此-2tt+2≤s≤1-2tt+2(-1≤t≤1).当0≤t≤1时,-2t2t+2≤st≤t-2t2t+2,由于-23≤-2t2t+2≤0和-13≤t-2t2t+2≤9-45,所以-23≤b≤9-45.当-1≤t<0时,t-2t2t+2≤st≤-2t2t+2,由于-2≤-2t2t+2<0和-3≤t-2t2t+2<0,所以-3≤b<0.故b的取值范围是[-3,9-45].4.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.解析 (1)证明:由f(x)=x+a22+b-a24,得图象的对称轴为直线x=-a2.由|a|≥2,得-a2≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,得max{f(1),-f(-1)}≥2,即M(a,b)≥2.当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,故|a+b|≤3,|a-b|≤3,由|a|+|b|=|a+b|,ab≥0,|a-b|,ab<0,得|a|+|b|≤3.当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3,且|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.所以|a|+|b|的最大值为3.B组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 二次函数与幂函数1.(2015四川,9,5分)如果函数f(x)=12(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间12,2上单调递减,那么mn的最大值为 ( ) A.16 B.18 C.25 D.812答案 B 2.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数··),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上答案 A 3.(2017课标全国Ⅲ文,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;(2)证明:过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析 (1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为-1x1·-1x2=-12,所以不能出现AC。
