毕业论文无穷小的比较与应用.doc

摘 要　 无穷小量具有很好的性质,灵活运用这些性质,无论是在求极限的运算中,还是在正项级数的敛散性判断中,都可取到预想不到的效果,能达到罗比塔法则所不能取代的作用.通过举例,对比了不同情况下无穷小量的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件,不仅使这些原本复杂的问题简单化,而且可避免出现错误地应用无穷小量.关键词：无穷小量;极限;洛必达法则;比较审敛法;优越性ABSTRACTEquivalent Infinitesimal have good characters ,both in operation of test for Limit and determine whether the positive series converges or diverges , if these quality that apply flexibly can obtain more effect , the effection can not be replace by L'Hospital Rule. This paper give examples and compare some instance to pay attention to condition in application of Equivalent Limit , so the question can be simply and avoid error in application.Keywords: equivalent infinitesimal; limitation; l'hospital's rule; comparison test; superiority.目 录1 引言 12无穷小量的概念及其重要性质 12.1 无穷小量的概念 12.2无穷小量的重要性质 22.3无穷小量性质的推广 23无穷小量的应用 53.1求函数的极限 53.2无穷小量在近似计算中的应用 63.3利用无穷小量和泰勒公式求函数极限 63.4 无穷小量在判断级数收敛中的应用 74无穷小量的优势 84. 1运用无穷小量求函数极限的优势…………………………………………....................84. 2 无穷小量在求函数极限过程中的优势………………………………………...............95结 论 12参 考 文 献 13致 谢 1461 引言无穷小量概念是微积分理论中最基本的概念之一,但在微积分理论中无穷小量的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过,其他地方似乎都未涉及到.其实,在判断广义积分、级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,无穷小具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一些复杂的问题简单化,可起到事半功倍的效果,反之,则会错误百出,有时还很难判断错在什么地方.因此,有必要对无穷小量的性质进行深刻地认识和理解,以便恰当运用,达到简化运算的目的.2无穷小量的概念及其重要性质 这部分在同济大学应用数学系主编的«高等数学»、华东师范大学数学系的«数学分析»、马振明老师和吕克噗老师的«微分习题类型分析»、张云霞老师的«高等数学教学»以及Song QB, Shen J Y. On illegal coping and distributing detection mechanism for digital goods [J]. Journal of Computer Research and Development中做了详细的讲解,下面是我对这部分的理解与总结.推广部分的性质在书中未做证明,根据所学的知识以及数学方法我对其进行了证明.2.1 无穷小量的概念 定义 若函数(包括数列)在某变化过程中以零为极限,则称该函数为这个变化过程中的无穷小量. 如函数, sinx, 1- cosx, ln(1+x)均为当x→0 时的无穷小量.对于数列只有一种情形, 即n→∞, 如数列{ } 为n→∞时的无穷小量或称为无穷小数列.注意：1) 绝对值非常小的数不是无穷小量, 0 是唯一的是无穷小量的数; 无穷小量无限趋近于0 而又不等于0.2) 无穷小量是变量, 与它的变化过程密切相关,且在该变化过程中以零为极限. 如函数 当x ∞时的无穷小量,但当x1时不是无穷小量.3）两个（相同类型）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.4）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 无穷小量的比较1) 若存在正数K和L,使得在某上有,则称与为当时的同阶无穷小量.特别当 则称与是同阶无穷小.2) 若=1, 则称与是无穷小量, 记为～.3) 若= 0, 则称是高阶无穷小, 记作=.注: 并不是任意两个无穷小均可比较, 如当x→0 时,与 都是无穷小量, 但它们不能进行阶的比较.无穷小量的重要性质设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小, ① 若α～α′,β～β′, 且lim 存在,则lim=lim （）② 若α～β,β～γ,则α～γ.性质①表明无穷小量量的商的极限求法.性质②表明无穷小量的传递性.2.3无穷小量性质的推广α～α′,β～β′, 且lim=c(≠-1),则α+β～α′+β′.证明 因为lim= 所以α+β～α′+β′.而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“lim=c(≠-1)”这个条件,千篇一律认为“α～α′,β～β′,则有α+β～α′+β′ 在同一变化过程中,～, ～,且存在,则=.证明 因为 ===.故结论得证.若α～α′,β～β′, 且lim′存在,则当≠0且 lim存在,有lim=lim′.证明 因为 ,又α～α′,β～β′,于是,,,从而 =1,即～同理可证～.故命题得证. 设在自变量的某一变化过程中, 、、及、、都是无穷小量.①若～、～、且存在且,则有～.②若～、～、且存在且,则有～.③若～、～、～且存在且,则有.证明 ①因为==.又因为,故上式等于1. ②因为==.又因为,故上式等于1. ③要证成立,只需证,因为～,～,所以结论得证.性质（1）、（3）的求极限中就使无穷小量的代换有了可能性,从而大大地简化了计算.但要注意条件“lim =c(≠-1)”,“ ≠0”的使用.注意 1）需要注意的是在运用无穷小替换解题时,无穷小量一般只能在对积商的某一项做替换,和差的替换是不行的.2）以上性质说明我们利用无穷小量的代换性质将无穷小的等价替换推广到和与差的形式,并对的不定式极限的求解作了简化,使其适用的函数类范围扩大,从而简化函数极限的运算过程,对不定式极限的求解有很大的意义.3无穷小量的应用 无穷小量的应用在冯录祥老师的«关于无穷小量量代换的一个注记»、王斌老师的«用罗比塔法则求未定式极限的局限性的探讨»、华东师范大学数学系的«数学分析»、盛祥耀老师的«高等数学»、马振明老师和吕克噗老师的«微分习题类型分析»、Shivakumar N, G.Molina H. SCAM: A Copy Detection Mechanism for Digital Documents [A]. The 2nd International Conference in Theory and Practice of Digital Libraries[C]. USA Austin Texas: [s. n]以及刘玉琏老师和傅沛仁老师的«数学分析讲义»中都有详细的分析与注解,在这一部分我只是按照自己的需要从中选取内容,再加上自己筛选例题解答例题写出来的.请看下面的内容：求函数的极限在求极限中经常用到的无穷小量有～～～～～～-1,   ～,  ～,( →0).例1  求.解 当→0时,～,～.原式= = ..例2  求.解 原式= = (∵～,～)= .此题也可用洛必达法则做,但不能用性质②做.所以,==0,不满足性质②的条件,否则得出错误结论0.无穷小量在近似计算中的应用如：例3 解 因为时,.所以. 故 利用无穷小量和泰勒公式求函数极限例4 求极限解 由于函数的分母中～（0）,因此只需将函数分子中的与分母中的cosx和分别用佩亚诺余项的麦克劳林公式表示,即：,,.所以.例5 由拉格朗日中值定理,对任意的＞-1,存在,使得.证明.解 因,所以,根据题设所给条件有即,所以,.以上例子能使我们更加深刻的理解无穷小与无穷小或函数与无穷小的相关运算,能更好的理解泰勒公式在求函数极限中的巧妙运用.。