《平面及其方程》word版.docx

平面及其方程本节将利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将推导几种由不同条件所确定的平面的方程．1.平面的点法式方程若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量．显然，若是平面的一个法向量，则 (为任意非零实数)都是的法向量．由立体几何知识知道，过一个定点且垂直于一个非零向量有且只有一个平面．下面推导平面的方程．设为平面上的任一点，由于，因此．由两向量垂直的充要条件，得．而，，所以由公式(6-10)可得． (6-14)由于平面上任意一点都满足方程(6-14)，而不在平面上的点都不满足方程(6-14)，因此方程(6-14)就是平面的方程．由于方程(6-14)是给定点和法向量所确定的，因而称式(6-14)叫做平面的点法式方程．例1 求通过点且垂直于向量的平面方程．解 由于为所求平面的一个法向量，平面又过点，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为，整理，得．例2 求通过点且与平面平行的平面方程．解 显然为所求平面的一个法向量，因此所求平面的方程为，即．练习：若点在平面上的投影为, 求平面的方程．2.平面的截距式方程例3 求过三点，， 的平面的方程．解 所求平面的法向量必定同时垂直于与．因此可取与的向量积为该平面的一个法向量．即．由于，，因此因此所求平面的方程为，化简得．由于，将两边同除以，得该平面的方程为． (6-15)此例中的、、三点为平面与三个坐标轴的交点，我们把这三个点中的坐标分量分别叫做该平面在轴，轴和轴上的截距，方程(6-15)称平面的截距式方程．注 利用截距式方程，为画不过原点的平面图象提供了极为便利的方法：只需找出平面与各坐标轴的交点，连结这三个点即为该平面，如图6-17所示．图6-173.平面的一般式方程展开平面的点法式方程(6-14)，得，设，则 (不全为零)． (6-16)即任意一个平面的方程都是的一次方程．反过来，任意一个含有的一次方程(6-16)都表示一个平面．事实上，设是满足方程(6-16)的一组解，则． (6-17)式(6-16)减去式(6-17)，得． (6-18)由(6-18)可决定一非零向量，它与向量垂直，其中，．而为一固定点，为任一点．因此平面(6-16)上任一点与的连线均与垂直，即方程(6-16)表示一个平面．我们称方程(6-16)为平面的一般式方程．其中为该平面的一个法向量．例4 求过两点，且与轴平行的平面方程．解 要求出平面的方程，关键要找出平面所过的一个点以及平面的一个法向量．由已知，所求平面的法向量同时与和轴垂直．即法向量同时与和垂直．因此，可取作为该平面的一个法向量．所以为所求平面的一个法向量．再由平面的点法式方程(6-14)得所求平面的方程为，整理得．练习：1.求过点的平面方程。

2.求过点且平行于z轴的平面方程3.求经过点和且与坐标平面垂直的平面的方程．6.4.2 两平面间的关系我们知道，两个平面之间的位置关系有三种：平行、重合和相交．下面根据两个平面的方程来讨论它们之间的位置关系．设有两个平面与，它们的方程为： (不同时为零)，： (不同时为零)，则它们的法向量分别为和．(1) 两平面平行∥．(2) 两平面重合．(3) 两平面相交与不成比例．当两平面相交时，把它们的夹角定义为其法向量的夹角，且规定．即． (6-19)特别地，当时，，则，即．反之亦然，所以． (6-20)例5：设平面和的方程分别为，求平面和的夹角解：平面和的法向量分别为，平面和的夹角余弦为练习：已知两平面与平面相互垂直，求的值．6.4.3 点到平面的距离在空间直角坐标系中，设点，平面：(不全为零)，可以证明点到平面的距离为． (6-21)例6 求点到平面：的距离．解 由点到平面的距离公式得．练习：已知点在轴上且到平面的距离为7, 求点的坐标．例7 求两个平行平面与间的距离．解 在一个平面上任取一点，如取点，则点到另一平面的距离即为两平行平面间的距离．所以．例8：已知原点到平面的距离为120, 且在三个坐标轴上的截距之比为, 求 的方程． 解：设截距的比例系数为，则该平面的截距式方程为 化成一般式为 又因点到平面的距离为120，则有求出 所以，所求平面方程为练习：1.已知点．在轴上且到点与到平面的距离相等, 求点的坐标。

2.求到两平面和距离相等的点的轨迹方程．课堂练习：1．求过点且与平面平行的平面方程．2．求过点，且平行于向量的平面方程．3．求过轴和点的平面方程．4．求通过轴且垂直于平面平面方程．5．求过三点，，的平面方程．6．求过点且在三个坐标轴的正方向上截得相等的线段的平面方程．7．指出下列平面对坐标轴位置的特点：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ．8．设平面与平面平行，试求和的值．9．求平面与平面的夹角．10．计算距离：(1) 点到平面；(2) 原点到平面；(3) 平行平面与．第 7 页 。