新高考数学二轮复习专题——坐标系与参数方程课时训练选修4_4.pdf

新高考数学二轮复习专题精练选修 4-4坐标系与参数方程第 1 课时坐 标 系1. (1) 将点 M的极坐标4，143 化成直角坐标；(2) 将点 N的直角坐标 (4， 43) 化成极坐标 ( 0， 0 2 ) 解：(1) x 4cos 143 4cos 234 12 2， y4sin 143 4sin 2323，点 M的直角坐标是 ( 2，23) (2) 42（ 43）28， tan 4343， 0 ，2)，又点 (4，43) 在第四象限，53，点 N的极坐标为8，53. 2. 已知圆 C的极坐标方程为222sin440，求圆心的极坐标解： 以极坐标系的极点为直角坐标系的原点O， 极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系xOy. 圆 C的极坐标方程为22 sin 2 cos 40， 圆 C的直角坐标方程为x2y22x2y40，即 (x 1)2(y 1)26. 圆心的直角坐标为(1， 1) ，则其极坐标为2，74. 3. (2017 省扬 中等 七校 联考 ) 在 极坐 标系 中， 已知 点P 23，6， 直线l ：cos 422，求点 P到直线 l 的距离解：点 P的直角坐标为(3, 3), 直线 l 的普通方程为x y40, 从而点 P到直线 l的距离为|3 34|2262. 4. 已知点 P(12cos ，2sin )( 其中 0 ， 2) ，点 P的轨迹记为曲线C1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线C2：12cos 4上(1) 求曲线 C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2) 当 0， 0 b0，为参数 ) ，得2acos 3，3bsin 3，所以a 4，b 2，所以曲线 C的普通方程为x216y24 1. (2) 曲线 C的极坐标方程为2cos2162sin241，将 A(1，) ，B 2，2代入得21cos21621sin241，22sin21622cos241，所以121122516. 第 2 课时参 数 方 程1. 已知在直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为x 3t 2，y 4t(t 为参数 ) ，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24 cos 30. 点 P在直线 l 上，点 Q在曲线 C上，求 PQ的取值范围解：直线 l 的普通方程为4x3y80；曲线 C的直角坐标方程为(x 2)2y21，曲线 C是圆心为 (2 ，0) ，半径为1 的圆圆心到直线的距离d|4 2 08|5165，所以 PQ的取值范围是115，. 2. 已知直线l 的参数方程为x1t2，yt ，曲线 C的极坐标方程为 4sin ，试判断直线 l 与曲线 C的位置关系解：直线 l 的普通方程为2xy20；曲线 C的直角坐标方程为x2 (y 2)24，它表示圆由圆心到直线l 的距离 d45455 2，得直线l 与曲线 C相交3. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆x5cos ，y3sin ( 为参数 ) 的右焦点，且与直线x42t ，y3t(t 为参数 ) 平行的直线的普通方程解：由题意知，椭圆的长半轴长为a5，短半轴长为b3，从而 c4，所以右焦点为(4， 0) 将已知直线的参数方程化为普通方程得x2y20，故所求的直线的斜率为12，因此所求的直线方程为y12(x 4) ，即 x2y40. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C1：x t 1，y 72t(t为参数 ) 与椭圆C2：x acos ，y 3sin ( 为参数， a0) 的一条准线的交点位于y 轴上，求实数a 的值解：直线 C1： 2xy 9，椭圆 C2：y29x2a21(0 a3) ，准线： y99 a2. 由99a29，得 a22. 5. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1的参数方程是xt ，y3t3(t为参数 ) ，在以坐标原点 O为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是 2，求曲线 C1与 C2的交点在直角坐标系中的直角坐标解：由xt ，y3t3，消去 t 得曲线 C1的普通方程为y33x(x 0)；由 2，得 24，得曲线C2的直角坐标方程是x2y24. 联立y33x（x0），x2 y2 4，解得x3，y1.故曲线 C1与 C2的交点坐标为(3，1) 6. 在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为xacos t ，y1asin t(t为参数， a 0) ，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 4cos . (1) 求曲线 C1的普通方程，并将C1的方程化为极坐标方程；(2) 直线 C3的极坐标方程为0，其中 0满足 tan 02，若曲线C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a. 解： (1) 消去参数t 得到 C1的普通方程为x2 (y 1)2 a2， 将 x cos ， y sin 代入 C1的普通方程，得到C1的极坐标方程为22 sin 1a20. (2) 曲线 C1，C2的公共点的极坐标满足方程组22 sin 1a20， 4cos ，若 0，由方程组得16cos2 8sin cos 1a20，由已知tan 2，可解得1a20，根据 a 0，得到 a1，当 a1 时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上，所以a1. 7. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2cos 6sin 1 0， 直线 l 的参数方程为x312t ，y332t(t 为参数) (1) 求曲线 C的普通方程；(2) 若直线 l 与曲线 C交于 A，B两点，点P的坐标为 (3 ，3) ，求 PA PB的值解： (1) 曲线 C的极坐标方程为 2cos 6sin 10，可得 22 cos 6 sin 10，可得 x2y22x 6y1 0，曲线 C的普通方程：x2y22x6y10. (2) 由于直线l 的参数方程为x312t ，y332t(t为参数 ) 把它代入圆的方程整理得 t22t 50， t1t2 2，t1t2 5. 又 PA |t1| ， PB |t2| ，PA PB |t1| |t2| （t1t2）24t1t226. PA PB的值为 26. 8. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系直线 l 的极坐标方程为sin332，椭圆 C的参数方程为x2cos t ，y3sin t(t 为参数 ) (1) 求直线 l 的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；(2) 若直线 l 与椭圆 C交于 A，B两点，求线段AB的长解：(1) 由 sin3 32，得 (32cos 12sin ) 32，即32x12y32，化简得 y3x3，所以直线 l 的直角坐标方程是y3x3. 由x22y32cos2t sin2t 1，得椭圆C的普通方程为x24y231. (2) 联立直线方程与椭圆方程，得y3x3，x24y231，消去 y，得x24(x 1)21，化简得 5x28x0，解得 x1 0，x285，所以 A(0，3) ，B85，353 或 A85，353 ，B(0，3) ，则 AB 0852 33532165. 9. 在平面直角坐标系xOy中，圆 C的参数方程为x22rcos ，y22rsin ( 为参数，r 0) ， 以 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为sin41，若圆 C上的点到直线l 的最大距离为3，求 r 的值解：圆 C的参数方程为x22rcos ，y22rsin ( 为参数， r 0) ，消去参数 得x222 y222 r2(r 0) ，所以圆心C 22，22，半径为r. 直线 l 的极坐标方程为sin41，化为普通方程为x y20. 圆心 C 22，22到直线 xy20 的距离为d2222222. 圆 C上的点到直线l 的最大距离为3，即 dr 3， r 3d321. 10. 已知动点P ，Q都在曲线C：x2cos t ，y2sin t(t为参数 ) 上，对应参数分别为t 与t 2(0 2) ，M为 PQ的中点(1) 求 M的轨迹的参数方程；(2) 将 M到坐标原点的距离d 表示为 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解： (1) 由题意有， P(2cos ， 2sin ) ，Q(2cos 2 ， 2sin 2 ) ，因此 M(cos cos 2 ， sin sin 2 )，M的轨迹的参数方程为xcos cos 2 ，ysin sin 2 ( 为参数， 0 2)(2) M 点到坐标原点的距离为dx2y222cos (02 ) ，当 时， d0，故 M的轨迹过坐标原点11. 若以直角坐标系xOy的原点 O为极点， x 轴正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程是sin2 6cos . (1) 将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；(2) 若直线 l 的参数方程为x3212t ，y32t(t为参数 ) ，直线l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求线段AB的长解： (1) 由 sin2 6cos ，得 2sin26 cos ，所以曲线C 的直角坐标方程为 y26x，曲线是以原点为顶点，32，0 为焦点的抛物线(2) x32t2，y32t ，y26x，化简得 t24t 120，则 t1t24，t1t2 12，所以 AB|t1t2|（ t1 t2）24t1t28. 。