高考数学双曲线92条二级结论汇总.pdf

第 1 页 双曲线性质 92 条及其详细证明 1. 12 2PFPFa2.标准方程 22 22 1 xy ab 3. 1 1 1 PF e d 4点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角. 5PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直径 的圆，除去实轴的两个端点. 6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8设 P 为双曲线上一点，则PF1F2的内切圆必切于与 P 在同侧的顶点. 9双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交双曲线 于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 10 若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 上， 则过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 11 若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）外 ， 则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 12AB 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点， 则 2 2 OMAB b kk a . 第 2 页 13若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 14若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab . 15 若 PQ 是 双 曲 线 22 22 1 xy ab （ b a 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则 12 2222 12 1111 (|,|)rOP rOQ rrab . 16若双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0）上中心张直角的弦 L 所在直线方程为1AxBy(0)AB , 则(1) 22 22 11 AB ab ;(2) 4242 2222 2 | a Ab B L a Ab B . 17给定双曲线 1 C： 222222 b xa ya b（ab0）, 2 C： 22 22222 22 () ab b xa yab ab ,则(i)对 1 C上任意 给定的点 00 (,)P xy,它的任一直角弦必须经过 2 C上一定点 M 2222 00 2222 (,) abab xy abab . (ii)对 2 C上任一点 00 (,)P xy在 1 C上存在唯一的点 M,使得 M的任一直角弦都经过 P点. 18设 00 (,)P xy为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上一点，P1P2为曲线 C 的动弦,且弦 PP1, PP2 斜率存在，记为 k1, k2, 则直线 P1P2通过定点 00 (,)M mxmy(1)m 的充要条件是 2 12 2 1 1 m b kk m a . 19过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲 线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 第 3 页 20双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F2，点 P 为双曲线上任意一点 12 FPF，则双曲线的焦点角形的面积为 12 2 cot 2 F PF Sb ， 2 222 (cot,cot) 22 ab Pcb cc . 21若 P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点, 12 PFF, 21 PF F，则tant 22 ca co ca （或tant 22 ca co ca ）. 22双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的焦半径公式： 1( ,0)Fc, 2( ,0) F c 当 00 (,)M xy在右支上时， 10 |MFexa, 20 |MFexa. 当 00 (,)M xy在左支上时， 10 |MFexa , 20 |MFexa . 23若双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e 21时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d1与 PF2的比例中项. 24P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线左支内一定点， 则 21 | 2|AFaPAPF,当且仅当 2 ,A F P三点共线且P在左支时，等号成立. 25双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上存在两点关于直线l： 0 ()yk xx对称的充要条件是 222 2 0 222 () 0 aba xkk ab kb 且. 26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 第 4 页 28P 是双曲线 sec tan xa yb （a0，b0）上一点，则点 P 对双曲线两焦点张直角的充要条件 是 2 2 1 1tan e . 29 设 A,B 为双曲线 22 22 xy k ab （a0,b0，0,1kk） 上两点， 其直线 AB 与双曲线 22 22 1 xy ab 相交于,P Q,则APBQ. 30在双曲线 22 22 1 xy ab 中，定长为 2m（0m ）的弦中点轨迹方程为 22 2222 22 2 22 2222 22 1coshsinh,coth,00 1sinhcoshcoth,00 xyay atbttxt abbx m xybx atbttyt abay 时，弦两端点在两支上 ，时，弦两端点在同支上 31设 S 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的通径，定长线段 L 的两端点 A,B 在双曲线右支上移动，记|AB|=l， 00 (,)M xy是 AB 中点 ，则当lS 时， 有 2 0min () 2 al x ce 222 (cab, c e a );当lS 时， 有 22 0min ()4 2 a xbl b . 第 5 页 32 双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 A aB bC. 33双曲线 22 00 22 ()() 1 xxyy ab （a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 34设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任 意一点，在PF1F2中，记 12 FPF, 12 PFF, 12 FF P，则有 sin (sinsin) c e a . 35经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的实轴的两端点 A1和 A2的切线，与双曲线上任一点 的切线相交于 P1和 P2，则 2 1122 | |PAP Ab. 36已知双曲线 22 22 1 xy ab （ba0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. （1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 22 22 4a b ba ;（3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ba . 37MN 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）过焦点的任一弦(交于两支)，若 AB 是经过双 曲线中心 O 且平行于 MN 的弦，则 2 |2 |ABa MN. 38MN 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （ab0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心 O 的半弦OPMN，则 222 2111 |a MNOPba . 第 6 页 39设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点， 过 M 引一条直线与双曲线相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交点 N 在 直线l： 2 a x m 上. 40设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF. 41 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、 Q, A1、 A2为双曲线实轴上的顶点， A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 42设双曲线方程 22 22 1 xy ab ,则斜率为 k(k0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线 yk x上,而且 2 2 b kk a . 43设 A、B、C、D 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分 别为, ，直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在双曲线上,则 2222 2222 | |cossin | |cossin PAPBba PCPDba . 44已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,点 P 为其上一点 F1, F2为双曲线的焦点， 12 FPF的 内（外）角平分线为l，作 F1、F2分别垂直l于 R、S，当 P 跑遍整个双曲线时，R、S 形成的 轨迹方程是 222 xya( 2 222 22 2 222 a yb x xc c y a ybxc ). 45设ABC 三顶点分别在双曲线上，且 AB 为的直径，l为 AB 的共轭直径所在的直线， l分别交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为l上一点，则 CD 与双曲线相切的充要条件是 D 为 EF 的中点. 第 7 页 46过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 47设 A（x1,y1）是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上任一点，过 A 作一条斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直 线 L，又设 d 是原点到直线 L 的距离, 12 , r r分别是 A 到双曲线两焦点的距离，则 1 2 rr dab. 48已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）和 22 22 xy ab （01） ，一条直线顺次与它们相交 于 A、B、C、D 四点，则AB=|CD. 49已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 0 (,0)P x, 则 22 0 ab x a 或 22 0 ab x a . 50设 P 点是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 12 FPF，则(1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF .(2) 1 2 2 cot 2 PF F Sb . 51设过双曲线的实轴上一点 B（m,o）作直线与双曲线相交于 P、Q 两点，A 为双曲线实轴 的左顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN：xn于 M，N 两点,则 90MBN 2 2 22 () anmam amb na . 第 8 页 52L 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）焦点 F 且与实轴垂直的直线，A。