2017-2018年高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线学案（含解析）新人教a版选修4-4.doc

1四 渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：Error!( φ 为参数)．(2)摆线的参数方程：Error!( φ 为参数)．求圆的渐开线的参数方程求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 OM0― →的方向为 x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点 M(x， y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥ AM.按渐开线定义，弧 的长和线段 AM 的长相等，记 和 x 轴正向所夹的角为 θ (以弧度为单位)，则AM0 OA― → |AM|＝ ＝4 θ .AM0作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得 ＝(4cos OA― → θ ，4sin θ )．由几何知识知∠ MAB＝ θ ， ＝(4 θ sin θ ，－4 θ cos θ )，AM― → 得 ＝ ＋OM― → OA― → AM― → ＝(4cos θ ＋4 θ sin θ ，4sin θ －4 θ cos θ )2＝(4(cos θ ＋ θ sin θ )，4(sin θ － θ cos θ ))．又 ＝( x， y)，因此有Error!( θ 是参数)．OM― → 这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x， y)．(2)取定点运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．OM― → 1．圆的渐开线Error!( t 是参数)上与 t＝ 对应的点的直角坐标为(　　)π 4A. B.(1＋π 4， 1－ π 4) (1－ π 4， 1＋ π 4)C. D.(－ 1－π 4， 1－ π 4) (1＋ π 4， － 1－ π 4)答案：A2．基圆直径为 10，求其渐开线的参数方程．解：取 φ 为参数， φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴正方向的夹角．∵直径为 10，∴半径 r＝5.代入圆的渐开线的参数方程，得Error!这就是所求的圆的渐开线的参数方程.求摆线的参数方程求半径为 2 的圆的摆线的参数方程．利用向量知识和三角函数的有关知识求解．当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如上图所示，∠ ABM＝ α .由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 的长相等，它们的长都等于 2α ，AM从而 B 点坐标为(2 α ，2)，3向量 ＝(2 α ，2)，向量 ＝(2sin α ，2cos α )，OB― → MB― → ＝(－2sin α ，－2cos α )，BM― → 因此 ＝ ＋OM― → OB― → BM― → ＝(2 α －2sin α ，2－2cos α )＝(2( α －sin α )，2(1－cos α ))．动点 M 的坐标为( x， y)，向量 ＝( x， y)，OM― → 所以Error!这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线Error!( t 是参数，0≤ t≤2π)与直线 y＝2 的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)4．圆的半径为 r，沿 x 轴正向滚动，圆与 x 轴相切于原点 O.圆上点 M 起始处沿顺时针已偏转 φ 角．试求点 M 的轨迹方程．解：由题意设 M(xM， yM)，则 xM＝ r·φ － rcos(φ －π 2)＝ r(φ －sin φ )， yM＝ r＋ rsin ＝ r(1－cos φ )．(φ －π 2)即点 M 的轨迹方程为Error!( φ 为参数)．课时跟踪检测(十三)一、选择题1．半径为 3 的圆的摆线上某点的纵坐标为 0，那么其横坐标可能是(　　)A．π B．2π C．12π D．14π解析：选 C　根据条件可知，圆的摆线方程为Error!( φ 为参数)，把 y＝0 代入，得 φ ＝2 kπ( k∈Z)，此时 x＝6 kπ( k∈Z)．42．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有(　　)A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④解析：选 C　对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为Error!( φ 为参数)，那么圆的摆线方程中参数取 对应的π 2点 A 与点 B 之间的距离为(　　)(3π2， 2)A. －1 B. C. D.π 2 2 10 3π2－ 1解析：选 C　根据圆的参数方程可知，圆的半径为 3，那么它的摆线的参数方程为Error!(φ 为参数 )，把 φ ＝ 代入参数方程中可得Error!π 2即 A ，∴| AB|＝ ＝ .(3(π 2－ 1)， 3) [3(π 2－ 1)－ 3π2]2＋  3－ 2 2 1054.如图 ABCD 是边长为 1 的正方形，曲线 AEFGH…叫做“正方形的渐开线” ，其中AE， EF， FG， GH 的圆心依次按 B， C， D， A 循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH 的长是(　　)A．3π B．4π C．5π D．6π解析：选 C　根据渐开线的定义可知， 是半径为 1 的 圆周长，长度为 ，继续旋转AE14 π 2可得 是半径为 2 的 圆周长，长度为 π； 是半径为 3 的 圆周长，长度为 ； 是半EF14 FG 14 3π2 GH径为 4 的 圆周长，长度为 2π.所以曲线 AEFGH 的长是 5π.14二、填空题5．我们知道关于直线 y＝ x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线Error!( φ 为参数)关于直线 y＝ x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线 y＝ x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换，所以要写出摆线方程关于 y＝ x 对称的曲线方程，只需把其中的 x， y 互换．答案：Error! (φ 为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是Error!( φ 为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数 φ ＝ 时对应的曲线上的点的坐标为________．π 4解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当 φ ＝ 时对应的坐标只需把 φ ＝ 代入曲线的参数方程，得 x＝ ＋π 4 π 4 22， y＝ － ，由此可得对应的坐标为 .2π8 22 2π8 (22＋ 2π8 ， 22－ 2π8 )答案：2　 (22＋ 2π8 ， 22－ 2π8 )7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .解析：圆的摆线的参数方程为Error!( φ 为参数)，令 r(1－cos φ )＝0，得φ ＝2 kπ( k∈Z)，代入 x＝ r(φ －sin φ )，得 x＝ r(2kπ－sin 2 kπ)( k∈Z)，又∵过(1,0)，∴ r(2kπ－sin 2 kπ)＝1( k∈Z)，∴ r＝ (k∈Z)．12kπ又∵ r＞0，∴ k∈N *.6答案：Error! (φ 为参数， k∈N *)三、解答题8．有一个半径是 2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点 M，与轮子中心的距离是 a，求点 M 的轨迹方程．解：设轮子中心为 O，则 OM＝ a.点 M 的轨迹即是以 O 为圆心， a 为半径的基圆的摆线．由参数方程知点 M 的轨迹方程为Error!( φ 为参数)．9．已知一个圆的摆线方程是Error!( φ 为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为 4，所以面积是 16π，该圆对应的渐开线参数方程是Error!( φ 为参数)．10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令 y＝0，可得 a(1－cos φ )＝0，由于 a＞0，即得 cos φ ＝1，所以 φ ＝2 kπ( k∈Z)．代入 x＝ a(φ －sin φ )，得 x＝ a(2kπ－sin 2 kπ)( k∈Z)．又因为 x＝2，所以 a(2kπ－sin 2 kπ)＝2( k∈Z)，即得 a＝ (k∈Z)．又由实际可知 a＞0，所以 a＝ (k∈N *)．1kπ 1kπ易知，当 k＝1 时， a 取最大值为 .1π代入即可得圆的摆线的参数方程为Error!( φ 为参数)．圆的渐开线的参数方程为Error!( φ 为参数)．。