2022年研究生数学建模D题解题思路与模型.pdf

1 2010年全国研究生数学建模竞赛D 题解题基本思路及其数学模型D 题命题者2010.11.5 于广州一本题背景本题是从一个科研项目中提炼而成，该项目是一个工程项目，为加工我国独立自主研制的新型地空导弹的天线罩，需要研制一台大型精密内外圆数控磨床，由某航天科研院与善长于磨床研究生产的上海机床厂合作研制这项工程包括研制一台能磨削天线罩这样工件的磨床，并调试机床数字控制系统该工程的研制成功，不仅解决了当时国内加工导弹天线罩这类特殊工件采用靠模式机床无法保证精度的问题，也提供了加工大型旋转体工件的设备（这是该工程的一个副产品） ，同时为当时国产机床的计算机控制积累了经验数控机床加工曲线的常规方法是插补，这对于车床、铣床等都是可以实现的，但对磨床来说，由于切削工具是砂轮，直接套用xy插补技术有不可逾越的障碍，那就是砂轮外形对曲线的“干涉”！所以，曲线磨床无法直接采用xy插补技术为此，该机床的总体设计放弃两个相互垂直的工作台xy插补实现曲线加工的传统结构方式，有创意地加入第三个工作台，这个工作台就是本题中的上工作台，它在前两个工作台运动的基础上（即跟随下台和中台提供的xy向运动），再做旋转运动， 构成有 3 个自由度的复合运动。

这样就可以与砂轮的外形配合，加工出（理论上）复杂曲线来该机床的控制系统也有不少值得称道的国内首创的技术突破应该说，这是可以编入机械专业教科书的精彩内容（不知道现有的机床教课书有没有编进？）有了机床，就要编制出计算机控制程序，其前提是如何根据要加工的曲线（实际上是旋转体的母线）方程，确定三个工作台相互配合的运动这是适合于研究生数学建模竞赛的适当素材，本题就是围绕对这一素材，去除许多工程处理的细节，集中于数学建模及其求解提炼出来的二 D 题命题的指导思想研究生数学建模竞赛是国内研究生中较为优秀的一部分学生的竞赛，在朱道元先生为代表的一批有识之士长期坚持和努力下，已经成为国内有重要影响的数学奥林匹克既然是竞赛，就要比出高低和好坏但本命题人认为，各地和各校拿几个奖，不应是我们这项赛事的主要目标（虽然已经出现了有的学校以此为教学水平甚至领导政绩的标志的现象），我们的根本目标应是坚忍不拔地引导和影响国内高等数学教育走上正确健康之路，使一批研究生的数学素养又实质性的提高，数学和理性思维有一个上台阶的提升，数学和科学视野能进一步扩大，打下能灵活应用学到的数学理论和方法，解决较高难度问题的基础而我们这里所说的“引导和影响”主要通过竞赛的试题的形式和内容来体现。

基于此， D 题命题的指导思想是：1考核高等数学最基本的观念和最常用的方法就D 题而言，涉及到建立坐标系，向量运算，坐标变换，导数（曲线的切线），曲率，线性空间的基，动态系统的运动分析等等属于最基本的概念希望研究生们通过本题，认识到最前沿的科学研究，更复杂的工程技术，大部分都将分解或转化为若干最基本、最基础的问题，所以，打好基本功，走遍天下都不怕本题不追求最新最深的数学考核学生不在表面的新鲜与好看2考核学生在解决复杂问题的过程中，能灵活地根据研究的进展，不断提炼或提出子问题的能力，或深化问题研究的能力本题的目标是研究三个工作台相互配合的运动，这是工程层名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 2 面的问题，如何把它转化为一个平面运动的点的运动方程和轨迹方程，是第一层深化；如何运用坐标变换，实现逼近是第二层深化；为保证机床各个工作台运动平稳，则是第三层深化，等等在每次深化中，都可以提炼出相应的数学问题及其模型对于本题，可以提出基于线性代数的坐标变换模型，进而微分方程模型，甚至最优控制模型，而且各问题环环相扣，层层深化，数学的含量也逐步提高，提到什么样的问题取决于你研究的角度和深度，也取决于你的数学功底的深浅。

3考核学生阅读能力和理解实际问题情景的能力D 题的前面2/3 的篇幅是介绍加工任务的由来，机床特点，砂轮等文字与图的内容，希望学生能在头脑里显示机床的空间概念，理清众多数据之间的联系和区别，为建模做好准备如果连起码的空间想象能力都缺乏，那么后面的工作就很难展开如果面对一堆数据，弄不清联系与区别，你不知道先用哪个后调哪个，模型又怎么建立？这常是影响学生解决实际问题的第一道障碍这种能力的缺损是很多国内学生的通病，属于综合素养的问题，而不单单是数学素养的问题4考核学生从读题中抓住其中关键的信息的能力建立三个工作台的运动与被加工曲线之间的定量关系是求解本题的核心，而这样理解这个定量关系的基础是能否数学描述三个工作台构成的复合运动的方程，这也是建立误差理论的关键另外的关键信息是能否透过众多数据，分类好，弄清什么数据与什么有关这个能力也非单单属于数学5考核学生对动态系统的处理能力三个工作台的运动是一个动态过程，而非静态的坐标变换的计算目前学生对静态问题的处理要好于对动态问题的处理，相应的训练也不够从这次竞赛看，我们在研究生阶段的课程设置和训练，还存在深层次的毛病6考核学生的计算能力这是大多数研究生较强的部分，计算机玩得比较好。

7考核学生的空间想象能力和文字表述能力三题目分析本题在数学上属于一类“数值逼近问题” ， 即使得砂轮对工件加工形成的逼近曲线尽量与理论曲线重合逼近的主要指标首先是精度要高或误差要小处理数值逼近问题的基本数学思想之一是“用空间换精度” ，把整体分成若干局部，在每个局部区域（区间）上用较简单的曲线来近似理论曲线，然后汇合成整体所以，整体近似曲线是所有局部简单曲线的集成，当局部近似足够小时，逼近精度将跟着提高在研究生课程“数值计算”中，介绍了用事先选定的简单函数（如正交多项式或三角函数，乃至小波基函数等）作为局部逼近函数的基函数，采用有关准则来建立逼近方程，于是具体的计算就转化为求解法方程如果考生一开始就认识到本题的属性，容易想到上述思路但是，本题却很难找到事先选定的简单函数，所以要想套用现成的逼近方法是困难的不过， “把整体分成局部，用局部逼近整体”的数学思想却是“放之四海而皆准的”不能随便套用的是教科书上现成的数学方法和相应公式这是必须打破多数学生的“思维定势” 的第一点这样，具体实施这样的逼近的第一步是“分段”，将被逼近曲线( ),0,600f xx划分为若干子段以后我们讨论的模型和局部误差等工作就在每一子段上展开。

第二，本题的逼近是对平面曲线的逼近，如果记砂轮旋转轴线和工件工作箱的旋转主轴线构成的平面为，那么工件母线就在内，所以我们的逼近在内实现局部逼近是靠三个工作台的运动实现的为了使局部逼近曲线也是一条光滑连续曲线，三个工作台必须同时运动，而且要相互配合，而非相继先后运动！这是一个动态的逼近过程由于上台带动工件运动，也就是带动工件的母线运动，或更确切些，是带动函数( )yfx在平面内运动 )yf x是不变的，故可视( )yf x为刚体因此，要认识到( )yf x在整个逼近过程中作刚体的平面运动 这是决定我们建立模型成败的第2 个关键名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 3 所谓刚体的平面运动是指刚体这样的运动：在其运动过程中，刚体的任一点到某一个固定平面的距离始终不变下面简称为平面运动不难知道，刚体的平面运动可用截刚体的一个平行于那个固定平面的平面图形在其自身平面内的运动来代替记此平面图形为S现研究图形S在固定坐标系Oxy内的运动。

若图形内的任两点,A B固定，则整个图形就固定，因此，图形S的运动可用直线段AB的运动来代替直线段AB的自由度显然等于3，因此可选用A点的坐标(,)AAxy和AB与x轴的夹角作为独立变量（这样的选法当然不唯一） 当图形S运动时，这 3 个变量是时间t的函数：( ) ,( ) ,(AAAAxxtyytt， （3. 1）这组函数称为平面运动方程式运动可以分解和合成平面运动可分解为平动和转动 如图 2 所示，设平面图形S的位移使直线段AB移动到A B这个运动可以通过两个分位移来实现：先使AB移到A B，再使A B绕点A旋转角度与A B重合在这样的情况下，称点A为基点当然我们也可先使AB移到A B，再使A B绕B转动角度与A B重合，此时称B为基点图 1 刚体平面运动容易看出， 当以A为基点时， 平动从AB移到A B；当以B为基点时， 平动从AB移到A B，两者不同但是，以A为基点的转动位移与以B为基点为基点的转动位移大小却完全相同， 都是，而且转动方向都一样（在本例中为逆时向）因此，平动位移与基点的选择有关，而转动位移与基点的选择无关这个认识很重要上述分析对于位移是有限还是微小的，都有效所以，方程（3.1）中的前2 个，描述的是图形平动的规律，第 3 个描述的是图形绕图 2 平面运动的分解基点转动的规律。

由下列方程组( )( ),( )( )( )( )( ),( )( )( )AAAxAAAyAAAxAxAAAyAyxxtvtyytvtxxtvtatyytvtat, (3.2) 描述图形平动的速度和加速度由下列方程组( )( ),( )( )( )ttttt, (3.3) 描述图形绕基点转动的角速度和角加速度，一般取逆时向为正向所以， 平面运动可以视为选定基点的平动和图形（刚体）绕基点的转动的合成在此基础SxOyABABABABxyO名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 4 上，可以推出作平面运动的图形内各点的位移和速度下面推导作平面运动的平面图形S内任一点B的位移设固定坐标系为Oxy，在图形S内取A点为基点， 并建立与图形S固连的动坐标系Ax y， x轴与x轴的夹角为在任意时刻t，A点在Oxy系中的坐标是( ),( )AAxtyt，B点在两个坐标系中的坐标分别为( ( ),( )x ty t和( ,)xy。

那么在任意时刻t，它们之间的关系为( )( ) cos ( ) sin ( )( )( ) sin( ) cos ( )AAx tx txtyty tytxtyt，(3.4) 其中(,)xy在动坐标系中是定值， 注意，(,)AAxy和都是时间t的函数所以（3.4）就是B点的运动方程，描述了B点随着平面图形（或刚体）的运动得到的在固定坐标系Oxy中两个坐标方向的分运动3.4)也可以用向量方法推出记A点，B点在固定坐标系中的向量分为,ABrr， 而B在动坐标系Ax y中的向量为ABr显然有()( )BAABAArrrx iy jx iy j， （3.5）其中,ij分别是Oxy的两个基向量，,ij分别是动坐标系的两个基向量于是，B点在固图 3 平面运动中的点的坐标定坐标系为Oxy中的坐标分量为()( )cossinBAAAxrix i iy j ix iiy jixxy，()( )sincosBAAAyrjx ijy jjx ijy jjyxy这里要强调的是，作平面运动的图形内任一点的运动方程（3.4） ，解析几何中坐标的旋转变换和平移变换的复核结果好像与（3.4）相同其实，解析几何中的这两个变换谁先谁后，其结果是不同的，因为它们求的是先后作了这两个不同变换后的坐标值，转动角度和平移量只是静态的量。

但是，平面运动的基点平动和图形绕基点的转动则是以函数形式同时进行的，不存在谁先谁后的问题这是现能看到的15 篇论文中存在的一个严重通病，看来，我们的研究生的动态观念与思想还不强，可能与课程设置与训练有关我们有时更希望知道B点的。