学年新教材高中数学课时素养评价三十四第五章计数原理第课时排列数的应用含解析北师大版选择性必修第一册.doc

三十四　排列数的应用 (15分钟　30分)1．(2021哈尔滨高二检测)现有5名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，那么甲与乙相邻，且甲与丁不相邻的站法种数为(　　)A．36 B．24 C．22 D．20【解析】选A.根据题意，按甲的站法分2种情况讨论：①假设甲站在两端，甲有2种情况，乙必须与甲相邻，有1种情况，剩余3人全排列，安排在剩余的3个位置，有A＝6种站法，那么此时有216＝12种站法；②假设甲不站在两端，甲可以站在中间的3个位置，有3种情况，乙必须与甲相邻，也有2种情况，甲与丁不能相邻，丁有2个位置可选，有2种情况，剩余2人全排列，安排在剩余的2个位置，有A＝2种站法，那么此时有3222＝24种站法．那么一共有24＋12＝36种站法．2．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，那么a72等于(　　)A．1 543　　　B．2 543　　　C．3 542　　　D．4 532【解析】选C.首位是1的四位数有A＝24(个)，首位是2的四位数有A＝24(个)，首位是3的四位数有A＝24(个)，由分类加法计数原理得，首位小于4的所有四位数共324＝72(个).由此得a72＝3 542.3．(2021鸡西高二检测)现有高一学生两人，高二学生两人，高三学生一人，将这五人排成一行，要求同一年级的学生不能相邻，那么不同的排法总数为________．【解析】根据题意，将五个人全排列，共有A＝120种结果．其中高一学生相邻或高二学生相邻的情况有2AA＝96种，高一学生相邻且高二学生相邻情况，有AAA＝24种，故同一年级的学生不能相邻的排法是120－96＋24＝48(种).答案：484．＝89，那么n的值为________．【解析】根据题意，得＝89，那么＝90，变形可得A＝90A，那么有＝90，变形可得：(n－5)(n－6)＝90，解得：n＝15或n＝－4(舍)；故n＝15.答案：155．从－3，－2，－1，0，1，2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图像关于y轴对称的有多少个？【解析】(1)方法一(直接法——优先考虑特殊位置)因为a≠0，所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A种，所以共有7A＝294个不同的二次函数．方法二(直接法——优先考虑特殊元素)当a，b，c中不含0时，有A个；当a，b，c中含有0时，有2A个，故共有A＋2A＝294(个)不同的二次函数．方法三(间接法)共可构成A个函数，其中当a＝0时，有A个均不符合要求，从而共有A－A＝294(个)不同的二次函数．(2)依题意b＝0，所以共有A＝42(个)符合条件的二次函数．(30分钟　60分)一、单项选择题(每题5分，共20分)1．(2021开封高二检测)甲同学与本校的另外2名男同学2名女同学一同参加?中国成语大全?的海选，5人坐成一排，假设甲与2名女同学都相邻，那么不同坐法的种数为(　　)A．6 B．12 C．18 D．24【解析】选B.把甲与2名女同学“捆绑〞在一起与另外2名男同学全排列有A种情况，再将2名女同学全排列有A种情况，故满足条件的不同坐法的种数为AA＝12.2．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有(　　)A．20种　　B．30种　　C．40种　　D．60种【解析】选A. 分三类：甲在周一，共有A种排法；甲在周二，共有A种排法；甲在周三，共有A种排法．所以共有A＋A＋A＝20种不同的安排方法．3．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23 145且小于43 521的数共有(　　)A．56个　 B．57个　 C．58个　 D．60个【解析】选C.采用分类加法计数原理，第1类：23154，1个；第2类：形如234□□和235□□的数有A2＝4个；第3类：形如24□□□和25□□□的数有A2＝12个；第4类：万位为3的数有A＝24个；第5类：形如42□□□和41□□□的数有A2＝12个；第6类：形如432□□和431□□的数有A2＝4个；第7类：43512，1个．所以共有1＋4＋12＋24＋12＋4＋1＝58个．4．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全局部给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是(　　)A．210 B．144 C．96 D．24【解析】选C.先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2张连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A＝424＝96(种).【补偿训练】有编号为1，2，3，4，5，6的六辆货车排队出发，要求1号车必须在3号车前出发，共有______种出发顺序．【解析】编号为1，2，3，4，5，6的六辆货车排队出发，共有A种出发顺序，要求1号车必须在3号车前出发，所以有＝6543＝360(种)出发顺序．答案：360二、多项选择题(每题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，那么以下说法正确的有(　　)A．假设A，B两人站在一起有24种排法B．假设A，B不相邻共有72种排法C．假设A在B左边有60种排法D．假设A不站在最左边，B不站最右边，有78种排法【解析】选BCD.对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步乘法计数原理可知共有AA＝48种排法，所以A不正确；对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有AA＝72种排法，所以B正确；对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有A＝60种，所以C正确；对于D，对A分两种情况：一是假设A站在最右边，那么剩下的4人全排列有A种，另一个是A不在最左边也不在最右边，那么A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法计数原理可知共有A＋AAA＝78种排法，所以D正确．6．有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，那么以下说法正确的有(　　)A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法C．如果女生不能站在两端，那么有1 440种不同排法D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1 440种不同排法【解析】选CD.A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素〞，此时，共有AA＝242＝576种不同的排法，A选项错误；B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素〞，此时，共有AA＝6120＝720种不同的排法，B选项错误；C中，如果女生不能站在两端，那么两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有AA＝12120＝1 440种不同的排法，C选项正确；D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中，此时，共有AA＝2460＝1 440种不同的排法，D选项正确．三、填空题(每题5分，共10分)7．用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数．(1)可以组成________个不同的偶数；(2)假设要求相邻两个数字奇偶性不同，那么可以组成________个．(用数字作答).【解析】用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数，(1)末位为0时有A＝120个；末位为2或4时有AA2＝192个，故共有120＋192＝312个偶数．(2)假设首位为偶数，那么首位不为0，有CAA＝24个，假设首位为奇数，那么有AA＝36个，故共有24＋36＝60个．答案：(1)312　(2)608.在一次射击比赛中，8个泥制的靶子挂成三列，其中两列各挂3个，一列挂2个，如下图．一射手按照以下规那么去击碎靶子：先挑选一列，然后必须击碎这列中尚未击碎的靶子中最低的一个．假设每次射击都遵循这一原那么，击碎全部8个靶子可以有________种不同的射击方案．【解析】自左至右，自下而上分别用字母A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3表示三列靶子．打完8个靶子的所有不同次序相当于把8个字母排个队，但A1，A2，A3；B1，B2；C1，C2，C3三组内部的先后次序排定．因为各种排列情形是等可能出现的．所以击碎8个靶子的不同次序有＝560(种).答案：560四、解答题(每题10分，共20分)9．将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i个数为ai(i＝1，2，…，6)，假设a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1＜a3＜a5，那么不同的排列方法共有多少种？【解题指南】此题有6个对象和6个位置，其中有3个对象1，3，5和3个位置a1，a3，a5是受限制的对象和位置，故可考虑分类法计算其方法种数，且应优先安排特殊对象或特殊位置．【解析】以特殊位置进行分类，由于a1≠1，且在a1，a3，a5中a1最小，故a1只能取2，3，4三个数，故可以以a1的取值进行分类．第一类，当a1＝2时，a3可以取数字4或5，共2种选择，不管a3取何值，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有A种排列方法，故当a1＝2时，排列方法有2A＝12(种)；第二类，当a1＝3时，a3可以取数字4或5，共2种选择，不管a3取何值，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有A种排列方法，故当a1＝3时，排列方法有2A＝12(种)；第三类，当a1＝4时，a3只能取数字5，只有1种选择，a5只能取数字6，其他位置不受限制，有A种排列方法，故当a1＝4时，排列方法有1A＝6(种).根据分类加法计数原理，满足题意的排列方法共有12＋12＋6＝30(种).【易错警示】利用分类讨论思想解决问题时，首先要明确分类的标准，如此题以a1的取值作为分类的标准，其次要做到不重不漏，合理简洁．10．某小组6个人排队照相留念．(1)假设分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)假设分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)假设排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)假设排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)假设排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种不同的排法？(6)假设排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？【解析】(1)前排2人，后排4人，相当于6个人全排列，共有A＝720种排法．(2)先将甲排在前排有A种排法，乙排在后排有A种排法，其余4人全排列有A种排法，根据分步乘法原理得，有AAA＝192种排法．(3)将甲、乙视为一个人，即看成5人全排列问题有A种排法，再将甲、乙两人排列有A种排法，根据分步乘法计数原理可得，有AA＝240种排法．(4)甲必在乙的右边属于定序问题，用除法，＝360种排法．(5)将3名男生插入3名女生之间的4个空位，这样保证男生不相邻，根据分步乘法计数原理得，有AA＝144种排法．(6)方法一：乙在排头其余5人全排列，共有A种排法；乙不在排头，排头和排尾均有A种排法，其余4个。