【总结】二次函数动轴与动区间考点技巧分类总结.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -二次函数在闭区间上的最值一. 学问要点：一元二次函数的区间最值问题,核心为函数对称轴与给定区间的相对位置关系的争论；一般分为：对称轴在区间的左边,中间,右边三种情形 .设 f 〔 x〕ax 2bx c〔a0〕 ,求 f〔 x〕 在 x[ m, n] 上的最大值与最小值；分析：将 f〔 x〕 配方,得顶点为b 4ac b2 b, .对称轴为 x2a 4a 2a当 a 0时,它的图象为开口向上的抛物线,数形结合可得在 [m, n] 上 f〔x〕 的最值：（ 1 ） 当 b 2am, n时 , f〔 x〕 的 最 小 值 为 f b2a4ac b2 4a, f 〔 x〕 的 最 大 值 为f 〔m〕. f〔n〕中的较大者；（2）当 b 2a如 b 2am, nm ,由 f时〔 x〕 在 m,n上为增函数就 f〔 x 〕 的最小值为 f〔m〕 ,最大值为 f〔 n〕如 n b2a,由 f〔 x〕 在 m,n上为减函数就 f〔 x〕 的最大值为 f〔m〕 ,最小值为 f〔n〕当 a 0 时,可类比得结论；二.例题分析归类：（一）.正向型为指已知二次函数和定义域区间, 求其最值； 对称轴与定义域区间的相互位置关系的争论往 往成为解决这类问题的关键；此类问题包括以下四种情形： （1）轴定,区间定；（ 2）轴定,区间变；（ 3）轴变,区间定；（ 4）轴变,区间变；1. 轴定区间定二次函数为给定的,给出的定义域区间也为固定的,我们称这种情形为“定二次函数在定区间上的最值” ；例 1.函数 y x2 4x2 在区间 [0 ,3] 上的最大值为 ,最小值为 ；解：函数 y x2 4 x 2〔x 2〕 22 为定义在区间 [0 ,3] 上的二次函数, 其对称轴方程为 x 2 ,顶点坐标为（ 2, 2）,且其图象开口向下,明显其顶点横坐标在［ 0, 3］上,如图 1 所示；函数的最大值为 f 〔2〕 2 ,最小值为 f 〔 0〕 2 ；练习 .已知 2x 23x ,求函数 f〔x〕x2 x图 11 的最值；第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解：由已知 2x23x ,可得 0 x23,即函数 f2〔x〕 为定义在区间 0, 32上的二次函数；将二次函数配方得 f〔x〕 x 13 ,其对称轴方程 x 1 ,顶点坐标 1 , 3 ,且2 4 2 2 4图象开口向上；明显其顶点横坐标不在区间 0, 32内,如图 2 所示；函数 f〔x〕 的最小值为f 〔 0〕1 ,最大值为 f 3 19 ；2 4图 22.轴定区间变二次函数为确定的,但它的定义域区间为随参数而变化的,我们称这种情形为“定函数在动区间上的最值” ；例 2.假如函数 f〔 x〕 〔 x1〕 21 定义在区间 t,t1 上,求 f〔 x〕 的最小值；解：函数 f〔 x〕 〔 x1〕21 ,其对称轴方程为 x 1 ,顶点坐标为（ 1, 1）,图象开口向上；如图 1 所示,如顶点横坐标在区间 t,t1 左侧时,有 1 t ,此时,当 x t 时,函数取得最小值 f〔 x〕 minf 〔t 〕 〔 t1〕2 1 ；图 1如图 2 所示,如顶点横坐标在区间 t,t1 上时,有 t1 t 1,即 0 t1；当 x 1时,函数取得最小值 f〔 x〕 minf 〔1〕 1 ；如图 3 所示,如顶点横坐标在区间 t, t图 21 右侧时, 有 t 1 1 ,即 t 0 ；当 x t 1 时,第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -函数取得最小值 f〔x〕minf 〔t 1〕t 2 1综上争论,f 〔 x〕min〔t 1〕 21. 0 tt 2 1 t1.t 110例 3. 已知f 〔x〕x2 2 x3 ,当 x[ t, t1]〔t R 〕图 8时,求f 〔 x〕的最大值．解：由已知可求对称轴为x 1 ．f 〔x〕minf 〔t 〕t t 21t3, f 〔 x〕maxf 〔t1〕 t 2 2（ 1）当（ 2）当时,t ≤ 1≤ t．1,即 0≤ t ≤ 1 时,．1．依据对称性 ,如 t t 121 0 ≤ t ≤即22 时,f 〔x〕maxf 〔t〕t 2 2t 3t t 1如 21 1 t ≤ 12 即 2 时,f 〔x〕 maxf 〔t 1〕 t 2 2．．（ 3）当 t综上, f1 1即 tt 2〔 x〕 max0 时,2. tf 〔x〕max121f 〔t〕t2 2t 3t 2 2t3.t2观看前两题的解法,为什么最值有时候分两种情形争论,而有时候又分三种情形争论呢？这些问题其实认真摸索就很简单解决；不难观看：二次函数在闭区间上的的最值总为在闭区间的端点或二次函数的顶点取到；第一个例题中,这个二次函数为开口向上的,在闭区间上,它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情形争论；而它的最大值不行能为二次函数的顶点,只可能为闭区间的两个端点,哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,当然也就依据区间中点与左右端点的远近分两种情形争论；依据这个懂得,不难说明其次个例题为什么这样争论；对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：f 〔m〕, b1 〔mn〕〔如图1〕f 〔n〕, b2an〔如图3〕当 a 0 时f 〔 x〕max2a 2f 〔n〕, b 1 〔mn〕〔如图2〕f 〔 x〕minf 〔 b 〕,m 2abn〔如图4〕2a2a 2f 〔m〕, b2am〔如图5〕第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -f 〔n〕, b2an〔如图6〕f 〔m〕, b1〔m n〕〔 如图9〕当 a 0 时f 〔 x〕maxf 〔 b 2a〕,mb n〔如图7〕 2af 〔x〕minf 〔n〕,2a 2b 1〔m n〕〔 如图10〕f 〔m〕, b2am〔如图8〕2a 23.轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化,即其图象为运动的,但定义域区间为固定的,我们称这种情形为“动二次函数在定区间上的最值” ；例 4.已知 x2 1,且 a 2 0 ,求函数 f〔 x〕x 2 ax3 的最值；解：由已知有 1 x将 f 〔 x〕 配方得： f 〔 x〕1, ax a22 ,于为函数 f2 a234a〔 x〕 为定义在区间 1,1a a2上的二次函数,二次函数 f〔 x〕 的对称轴方程为 x顶点坐标为2, 3 ,图象开口向上2 4由 a 2 可得 x a 21 ,明显其顶点横坐标在区间 1,1的左侧或左端点上；函数的最小值为 f 〔 1〕4 a ,最大值为 f〔1〕4 a ；例 5.〔1〕 求f 〔 x 〕 x2图 32ax 1 在区间 [-1.2] 上的最大值；〔2〕 求函数 yx〔 xa 〕 在 x[ 1 . 1] 上的最大值；解： 〔1〕 二次函数的对称轴方程为 x a ,第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1当 a 即 a211时, f 〔 x 〕max f 〔 2 〕 4a 5 ；21当 a 即 a 2时, f 〔 x 〕max2f 〔 1〕 2a 2 ；1综上所述：f 〔 x 〕maxa2a 2.a2 ；4a 5.a 12a 2 aa a a〔2〕函数 y 〔 x 〕2图象的对称轴方程为x ,应分 11 , 1 , 1 即22 a 2 , a42 和 a2 2 2 22 这三种情形争论,以下三图分别为（ 1） a2 ；由图可知f 〔 x〕 maxf 〔 1〕（ 2） 2 a2 ；由图可知f 〔x〕maxf 〔 a 〕2（ 3） a2 时；由图可知f 〔 x〕 maxf 〔1〕f 〔 1〕 . a 2a。