2024-2025学年湖北省仙桃市高二（上）期末数学试卷（含答案）.docx
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2024-2025学年湖北省仙桃市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.抛物线y2=4x的焦点坐标为( )A. (0,1) B. (1,0) C. (0,2) D. (2,0)2.已知P(A)=0.5，P(B)=0.4，且B⊆A，则P(AB)=( )A. 0.5 B. 0.4 C. 0.9 D. 0.23.设数列{an}，{bn}都是等比数列，则在4个数列{an+bn}，{an−bn}，{anbn}，{bnan}中，一定是等比数列的有( )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4.直线l1的一个方向向量的坐标为(2,3)，直线l2过点(1,2)且与l1垂直，则l2的方程为( )A. 2x+3y−8=0 B. 3x−2y+1=0 C. 3x+2y−7=0 D. 2x−3y+4=05.已知{an}是等差数列，a1+a3+a5=21，a6+a8+a10=51，则an 的前10项和为( )A. 90 B. 100 C. 110 D. 1206.已知正三棱柱ABC−A′B′C′的各条棱长均相等，棱CC′的中点为D，则直线A′C与直线BD所成的角的余弦值为( )A. 0 B. 14 C. 33 D. 557.柜子里有红、黄、蓝三种颜色的鞋子各一双，从6只鞋子中随机地取出3只，则取出的3只鞋子颜色均不相同的概率为( )A. 15 B. 310 C. 25 D. 128.圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆.已知二面角α−l−β的大小为30°，半平面α内的圆C在半平面β上的投影是椭圆C1，C1在半平面α上的投影是椭圆C2，则椭圆C2的离心率为( )A. 34 B. 12 C. 54 D. 74二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：E=“点数不大于2”；F=“点数大于2”；G=“点数大于5”；H=“点数为奇数”.则下列说法正确的有( )A. F∪G=G B. E，F为对立事件C. F与H互斥 D. GH=⌀10.已知m≠n，设两条直线l1：x−my+2=0，l2：x−ny−2=0交点的轨迹为曲线C，则下列说法正确的有( )A. 当mn=−4时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在x轴上B. 当mn=−12时，曲线C是椭圆的一部分，且椭圆焦点在y轴上C. 当mn<0时，曲线C是椭圆的一部分D. 当mn>0时，曲线C是双曲线的一部分11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点P在面ABB1A1(包含边界)内运动，且PA+PB=2 5点Q在面ABCD(包含边界)内运动，且Q到直线BB1的距离与其到平面ADD1A1的距离相等.若PQ//平面ADD1A1，则下列说法正确的有( )A. PQ⊥AB B. 直线PQ不可能与平面ABCD垂直C. Q的轨迹为抛物线的一部分 D. 线段PQ长度的取值范围为[1,9 55]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知OA=(2,1,3)，OB=(−2,1,x)，且OA⊥OB，则|AB|= ______．13.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以线段F1，F2为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点为A，若|AF1|=2|AF2|，则ba= ______．14.数列{an}中a1=2，且满足an⋅an+1=12n，an+an+1=bn，则数列{bn}的前2024项的和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知数列{an}满足an+1=2an+1，且a1=1，设bn=an+1．(1)求证：数列{bn}是等比数列；(2)设cn=an+log2bn，求数列{cn}的前n项和Sn．16.(本小题15分)已知圆C：(x−2)2+(y−1)2=4内有一点P0(1,2)，过P0作直线与圆C交于A，B两点．(1)若弦AB被点P0平分，求直线AB的方程；(2)若|AB|=2 3求直线AB的方程．17.(本小题15分)如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均相等，AD⊥DC，∠DCC1=60°，平面CC1D1D⊥平面ABCD，点E，F满足D1E=EC1，CF=2FC1．(1)求证：AE//平面BDF；(2)求直线CD与平面BDF所成的角θ的正弦值．18.(本小题17分)已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点为A，焦点在x轴上且焦距为2，过右焦点F的直线l(不与x轴重合)交椭圆于M，N两点，当直线l与x轴垂直时，|MN|=3．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线MA，NA的斜率之积为定值．19.(本小题17分)已知A，B两个盒子里分别有a，b个小球，另有足够多的小球备用.重复进行n(a,b≥2n)次如下操作：每次从A，B中随机选取一个盒子，向里面放入1个球或放入2个球，从剩下的另一个盒子里取出1个球或取出2个球.每一次操作中某个盒子里“放入1个球”“放入2个球”及“取出1个球”“取出2个球”均是等可能的，这n次操作结果均相互独立．(1)若a=9，b=11，求第一次操作后，A盒子里球的个数多于B盒子里球的个数的概率；(2)求完成一次操作后，A，B两个盒子里球的个数之和减少的概率p；(3)求重复进行n次操作后，A，B两个盒子里球的个数之和为a+b+n的概率．参考答案1.B 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A 7.C 8.D 9.BD 10.ABD 11.ABC 12.2 5 13.43 14.7−721012 15.解：(1)证明：由an+1=2an+1，且a1=1，可得an+1+1=2(an+1)，由bn=an+1，可得bn+1=2bn，则数列{bn}是首项和公比均为2的等比数列；(2)由(1)可得bn=2n，an=2n−1，cn=an+log2bn=2n−1+n，则数列{cn}的前n项和Sn=(2+4+...+2n)+(0+1+...+n−1) =2(1−2n)1−2+12n(n−1)=2n+1−2+12(n2−n)． 16.解：(1)圆C：(x−2)2+(y−1)2=4的圆心C(2,1)，半径r=2，因为弦AB被点P0(1,2)平分，可AB的斜率k=−1kCP0=−2−11−2=1，所以直线AB的方程为：y−2=1⋅(x−1)，即x−y+1=0；(2)设圆心C到直线AB的距离d，因为|AB|=2 r2−d2=2 4−d2=2 3，可得d=1，当直线AB的斜率不存在时，即直线AB的斜率x=1，此时圆心到直线的距离d=|2−1|=1，符合条件；当直线的斜率存在时，设直线的方程为y−2=k(x−1)，即kx−y−k+2=0，则圆心C到直线的距离d=|2k−1−k+2| k2+(−1)2=|k+1| k2+1=1，解得k=0，即直线AB的方程为y=2，综上所述：直线AB的方程为x=1或y=2． 17.解：(1)证明：如图，取AB的中点G，连接CG交BD于H，连接FH，C1G，因为BG=12DC，BG//DC，所以CH=2HG，又CF=2FC1，所以FH//C1G，由于AG//EC1，AG=EC1，所以AE//GC1，从而有AE//HF，又AE⊄平面BDF，FH⊂平面BDF，所以AE//平面BDF；(2)设平行六面体各条棱长为6，因为平面CC1D1D⊥平面ABCD，且AD⊥DC，所以AD⊥平面CC1D1D，由于∠C1CD=60°，所以∠DD1E=60°，DD1=6，D1E=3，由余弦定理DE=3 3，DE⊥D1E，分别以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C(0,6,0)，B(6,6,0)，C1(0,3,3 3)，DB=(6,6,0)，DC=(0,6,0)，由CF=2FC1，得CF=23CC1=23(0,−3,3 3)=(0,−2,2 3)，从而BF=CF−CB=(0,−2,2 3)−(6,0,0)=(−6,−2,2 3)，设平面BDF的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DB=6x+6y=0n⋅BF=−6x−2y+2 3z=0，可取n=(1,−1,2 3)，故sinθ=|cos
