江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题7 三角恒等变换与解三角形回顾2008～2012年的考题，在填空题中主要考查了三角公式的运用、正、余弦定理的运用.在解答题中有2008、2011年主要考查了三角化简求值，2009年考查了向量与三角化简的综合问题，2012年考查角的恒等变换及正、余弦定理.在近五年的应用题考查中，有两年考查了与三角函数有关的应用题.,在近四年的考查中，同角三角函数关系与诱导公式没有两角和与差的公式考查力度大，但作为三角化简的基本功还是要掌握的.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是考查简单的三角函数化简、解三角形，随着题目设置的顺序，难度不一.(2)在解答题中，三角函数的化简、三角函数的性质与解三角形和平面向量的交汇问题仍是考查的重点.1．(2012南京名校4月阶段性考试)若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：由题意得＝3.所以tan α＝2.又tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.所以(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝.答案：2.－sin 10(tan－15－tan 5)＝________.解析：原式＝－sin 10＝－2cos 10＝＝＝＝cos 30＝.答案：3．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________，AC的取值范围为________．解析：设A＝θ，则B＝2θ.由正弦定理得＝，∴＝1⇒＝2.由锐角△ABC得0<2θ<90⇒0<θ<45，又0<180－3θ<90⇒30<θ<60，故30<θ<45⇒c2，则C<；②若a＋b>2c，则C<；③若a3＋b3＝c3，则C<；④若(a＋b)c<2ab，则C>；⑤若(a2＋b2)c2<2a2b2，则C>.[解析] ①ab>c2⇒cos C＝>＝⇒C<；②a＋b>2c⇒cos C＝>≥⇒C<；③当C≥时，c2≥a2＋b2⇒c3≥a2c＋b2c>a3＋b3与a3＋b3＝c3矛盾；④取a＝b＝2，c＝1满足(a＋b)c<2ab得C<；⑤取a＝b＝2，c＝1满足(a2＋b2)c2<2a2b2得C<.[答案] ①②③利用正、余弦定理可实现三角形中的边角转化，常用方法是：①化边为角结合内角和定理求解；②化角为边结合勾股定理、三边关系求解． 在△ABC中，sin A＝，判断这个三角形的形状．解：应用正弦定理、余弦定理，可得a＝，所以b(a2－b2)＋c(a2－c2)＝bc(b＋c)．所以(b＋c)a2＝(b3＋c3)＋bc(b＋c)．所以a2＝b2－bc＋c2＋bc.所以a2＝b2＋c2.所以△ABC是直角三角形． (1)在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中的角，使问题获解．如角的变形：15＝45－30＝60－45＝，α＝(α＋β)－β＝－，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝－.特别地，＋α与－α为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高．(2)两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例．另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解．1．(2012连云港调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝b2＋bc，sin C＝2sin B，则A＝________.解析：由sin C＝2sin B，得c＝2b.又a2＝b2＋bc，所以cos A＝＝＝＝，所以A＝.答案：2．设α∈，β∈，cos＝，sin＝，则sin(α＋β)＝________.解析：α∈，α－∈，又cos＝，∴sin＝.∵β∈，∴＋β∈，sin＝，∴cos＝－.∴sin(α＋β)＝sin＝－cos＝－coscos＋sinsin＝－＋＝.即sin(α＋β)＝.答案：3．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)＝________.解析：∵sin α＝，α∈，∴cos α＝－.则tan α＝－.由tan(π－β)＝，可得tan β＝－，tan 2β＝＝＝－.tan(α－2β)＝＝＝.答案：4.如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是________．解析：因为l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，所以过A作l2的垂线，交l2、l3分别于点D、E，如图，则∠BAD＝∠BAC＋∠CAE，即∠BAD＝60＋∠CAE，记正三角形ABC的边长为a，两边取余弦得＝cos 60cos ∠CAE－sin 60sin ∠CAE，即＝－整理得，＝1，解之得，a＝.答案：5．已知α∈，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值是________．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝，tan(2α－β)＝＝1.∵tan β＝－，∴β∈，∴2α－β∈.∴2α－β＝－.答案：－6．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30，△ABC的面积为，那么b＝________.解析：∵2b＝a＋c，∴a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝4b2－2ac.在△ABC中，B＝30，△ABC的面积，所以acsin B＝，即ac＝6，于是a2＋c2＝4b2－12，由余弦定理得cos B＝＝，即＝，解得b2＝4＋2，于是b＝1＋.答案：1＋7．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝，sin(B－A)＝cos C．则B＝________.解析：因为tan C＝，即＝，所以sin Ccos A＋sin Ccos B＝cos Csin A＋cos Csin B，即sin Ccos A－cos Csin A＝cos Csin B－sin Ccos B，得sin(C－A)＝sin(B－C)，所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)．即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.又因为sin(B－A)＝cos C＝，则B－A＝或B－A＝(舍去)，得A＝，B＝.答案：8．已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，则四边形ABCD的面积为________．解析：如图：连结BD，则有四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△CDB＝ABADsin A＋BCCDsin C.∵A＋C＝180，∴sin A＝sin C.故S＝(ABAD＋BCCD)sin A＝(24＋64)sin A＝16sin A.由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2ABADcos A＝20－16cos A，在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CBCDcos C＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C．∵cos C＝－cos A，∴64cos A＝－32，cos A＝－.又0
