转化与化归的思想方法.doc

20102010 高考数学考点预测：高考数学考点预测：转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解 决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化 思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题， 将未解决问题化归为已解决问题事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的 过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题， 无论是难题还是易题，都离不开化归例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何 问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问 题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等化归灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途 径与方法在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等 理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能 力高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价 转化。

1. 转化运算．转化运算．例 1.若动直线xa与函数( )sinf xx和( )cosg xx的图像分别交于MN，两点，则MN的最大值为（ ）A．1B．2C．3D．2分析: 动直线xa与函数( )sinf xx和( )cosg xx的图像分别交于MN，两点, 横坐标相同，那么MN就是纵坐标之差，即sincosMNxx求最值解: sincos2 sin4MNxxx最大值为2评注:审题要审准，读懂题意，将问题学会转化例 2． （2008 湖北卷，理 14）已知函数( )2xf x ,等差数列{}xa的公差为2.若246810()4f aaaaa,则212310log [ ()() ()()]f af af af aL .分析：题目中的已知条件很容易求得246810aaaaa，而所求的为212310log [ ()() ()()]f af af af aL可以转化为等差数列{}xa的前 10 项之和，根据公差，可以把前 10 项之和转化为用246810aaaaa表示出来，从而求得解：由( )2xf x 和246810()4f aaaaa知2468102aaaaa，2123102122210log [ ()() ()()]log()log()log()f af af af af af af aLL=123102468102526aaaaaaaaa  L评注：仔细分析题目，把运算进行转化，可以大大地节省时间，提高做题的效率。

本题中把等差数列{}xa的前 10 项之和转化为用246810aaaaa表示出来，比较快捷，减少计算量2 2．新定义运算转化为普通运算．新定义运算转化为普通运算例 3． （2008 山东省泰安市）如图所示的韦恩图中，A、B 是非空集合，定义集合 A#B 为阴影部分表示的集合．若2,,|2x yR Ax yxx，|30xBy yx， 则A#B 为（ ）A．|02xx B．|12xxC．|012xxx或 D．|012xxx或分析：根据图形语言可知定义的 A#B 转化为原有的运算应该是表示为A BABUIð，所以需要求出ABU和ABI，借助数轴求出并集与交集解：22|22002Ax yxxxxxxx，|301xBy yxy y，则0 ,12ABx xABxxUI，根据新运算，得 A#B=01A BABxxUI或x2ð故选 D答案：D评注：本题是集合中的新定义运算题，综合考查了图形语言、集合的描述法表示，函数的定义域和值域，以及集合的交并补的运算。

解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出例 4． （2008 山东省郓城一中）定义一种运算  babbaaba,,，令 45sincos2xxxf，且 2, 0x，则函数 2xf的最大值是（ ）A．45B．1 C．1 D．450 1 2 x分析：根据新定义，知要确定函数 f x的解析式，需要比较2cossinxx与5 4的大小关系，即需要求2cossinxx的取值范围，另外，还要注意自变量的取值范围，再确定2xf的解析式，从而求出函数的最大值解：设2 2215cossinsinsin1sin24yxxxxx   ，∵ 2, 0x，∴0sin1x，∴514y，即251cossin4xx，根据新定义的运算可知 2cossinf xxx， 2, 0x∴221515sincos222424fxxx  （,2x）∴函数 2xf的最大值是45，故选 A答案：A 评注：解决新定义问题，首先要把定义读懂理解透，把陌生的新内容转化为熟悉的已知的内 容，在此基础上进一步研究熟悉的问题。

3 3．转化函数关系．转化函数关系例 5． （2008 山东卷，文 15）已知2(3 )4 log 3233xfx，则8(2)(4)(8)(2 )ffffL的值等于 ．分析：本题中的函数不是以x为整体，而是以3x为整体给出的解析式，所以要求函数值，需要先求关于x的解析式，再代入求值解：∵22(3 )4 log 32334log 3233xxfx，∴ 24log233f tt，则8(2)(4)(8)(2 )ffffL  8 22224log 22334log 42334log 82334log 2233L4 12388 2332008  L评注：有些题目中往往所给的解析式不是关于x的解析式，这时需要我们把解析式进行转化， 本题中先把函数进行转化，然后进行运算4．函数与导函数之间的转化．函数与导函数之间的转化例 6． （2008 湖北卷，理 7）若21( )ln(2)2f xxbx 在(-1, + )上是减函数，则b的取值范围是 （ ）A. [ 1,)  B. ( 1,)  C. (, 1]  D. (, 1) 分析：把已知条件函数在某区间上是单调减函数需要转化为函数的导函数在此区间上是恒负，再分化出b，转化为函数研究最值问题解决。

解：∵21( )ln(2)2f xxbx 在(-1, + )上是减函数，∴ '02bfxxx  在1, 上恒成立，即2bx x在1, 上恒成立，设  2211g xx xx在1, 上单调递增，∴ 1g x  ，∴当1b  时，2bx x在1, 上恒成立，即21( )ln(2)2f xxbx 在(-1, + )上是减函数故选 C答案：C评注：函数的单调性通常转化为导函数的正负判断，而不等式恒成立又常常转化为函数研究最值问题，本题中还要注意做题的严密性，等号不能丢掉例 7． （2008 福建卷，理 12）已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x), y=g(x)的图象可能是（ ）分析：注意观察导函数的图象以及原函数的图象，并把所得到的信息转化为原函数的信息，加以排除选择解：令)()()(xgxfxF，则)()()(xgxfxF，当0xx 时，由图象知)()(xgxf，即0)( xF，)(xF是增函数，则答案Ａ，Ｃ错， 当0xx 时，)()(xgxf，即0)( xF，)(xF是减函数，则答案Ｂ错，故选Ｄ．答案：Ｄ评注：对于由图形给出的信息要从中提炼出来，并适当地用数学语言表述准确，本题中的两 个函数可以转化为一个函数，进行构造，导函数的正负转化为原函数的增减。

5.5.三视图转化为立体图三视图转化为立体图例 8． （2009 莱阳模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 4 的 两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积 为 V，并且可以用 n 这样的几何体拼成一个棱长 为 4 的正方体，则 V，n 的值是（ ）A．32,2Vn B．64,33VnC．32,63Vn D．16,4Vn 分析：由三视图转化为立体图，再做解答解：根据三视图，可知此几何体为一个如图所示的四棱锥，其体积为64 3，故选 B 答案：B评注：高考题注重对立体几何中的三视图的考查，一般是给出几何体的三视图，让我们还 原为立体图，然后求出一些几何量例 9． （2008 山东淄博市模拟）一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC是 边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ） 正视图 侧视图 俯视图A． 23B． 32C．12D．6分析：先把三视图还原为立体图，再由立体图进行解答 解：有三视图可知，此几何体为正六棱锥，如图，其中正视图 为PBEV，是正三角形，则2BE ，∴底面边长为 1，侧棱长为 2，则高为3，设,M N分别为,AF CD的中点，则PMNV为侧视图，3MN ，∴侧视图的面积为133322，故选A。

答案：A 评注：正确对待三视图，要会还原为立体图，找出相应的量解出， 注意对应的量不能出错6．极坐标与参数方程转化为普通方程．极坐标与参数方程转化为普通方程例 10． （2008 南通四县） （坐标系与参数方程）已知曲线 C 的极坐标方程是4cos．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参PABCDEFMNO数方程是：212 2 2xtyt ，求直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长．分析：本题既有参数方程又有极坐标方程，用极坐标方程和参数方程研究弦长问题很难解 决，可以转化为普通方程求出解：曲线 C 的极坐标方程是4cos化为直角坐标方程为2240xyx，即2224xy 直线 l 的参数方程212 2 2xtyt ，化为普通方程为 x－y－1=0，曲线 C 的圆心（2，0）到直线 l 的距离为12 22 所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长12 42=14． 评注：研究极坐标与参数方程问题可以直接研究，也可以转化为普通方程研究，特别是在研 究直线与圆锥曲线的位置关系时常常转化为普通方程求出。

7．函数、方程、不等式之间的转化．函数、方程、不等式之间的转化例 11． （2009 山东省济宁市）若函数3( )3f xxxa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是A．( 2,2) B．[ 2,2]C．(, 1)  D．(1,)分析:本题为三次函数有三个不同的零点，则函数应该有两个极值点，一个极值为正，一个极 值为负，所以要先求出其导数，再求其极值解: 由函数3( )3f xxxa有三个不同的零点,则函数 f。