第3章误差合成与分配讲义教材.ppt

第三章误差合成与分配,任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果如何正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响以及解决测量方法的拟定和仪器设计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等 这就是本章要研究的基本内容本章重点和难点,函数系统误差和函数随机误差的概念 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定,重点掌握：函数误差的计算方法； 掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的异同点； 了解：误差分配的基本步骤第一节 函数误差,前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量 间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。

一、函数系统误差计算,间接测量的数学模型,与被测量有函数关系的各个直接测量值,y 间接测量值,求上述函数 y 的全微分，其表达式为：,（3-1）,若已知各个直接测量值的系统误差x1，x2，，xn 由 y 的全微分，函数系统误差 y的计算公式,,（3-2）,和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用,和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用,为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数,函数系统误差计算公式,若已知各个直接测量值的系统误差x1，x2，，xn 由 y 的全微分，函数系统误差 y的计算公式,线性函数的系统误差计算,函数形式为线性关系的函数系统误差为,（3-3）,线性关系的函数式中的各个误差传递系数ai为常数当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和,正弦函数的系统误差计算公式,函数,系统误差,因,则有,（3-5）,（3-6）,同理可得其他三角函数的角度系统误差公式例1 用弓高弦长法间接测量大直径D,如图所示，直接测得其弓高h和弦长s，然后通过函数关系计算出直径D若弓高与弦长的测得值及其系统误差为,求测量结果求解：,1. 建立函数关系式,若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径D0为,2.计算直径D0值,3.计算直径D的系统误差,直径D的系统误差公式为,4.计算各误差传递系数值,将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得,5.计算系统误差值,6.给出测量结果,通过修正可消除所求得的直径系统误差D，则被测直径的实际尺寸为,例用量块组做标准件的测量,相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下：,已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为,试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差？,解：量块组尺寸的系统误差为,故量块组按基本尺寸使用时的修正值为0.4m,使用该量块组做相对测量带来的测量误差为,故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出0.m,二、函数随机误差计算,随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。

因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各测量值的标准差之间的关系若以各测量值的随机误差1，2，n代替各微分量dx1，dx2，，dxn只能得到函数的随机误差y，而得不到函数的标准差y对于式(31),函数随机误差的数学模型,数学模型,变量中只有随机误差,泰勒展开，并取其一阶项作为近似值,函数的一般形式,得到,即：,可得：,函数标准差计算,或,第i个直接测得量 的标准差,第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数,第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传递系数,第i个测量值和第j个测量值之间的协方差,相关系数的讨论,若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，相关项,若定义,则有, ij=0,相互独立的函数标准差计算,令,若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项,由于各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数很小时，也可近似地作不相关处理，因此式(314)或式(315)是较常用的函数随机误差公式函数的极限误差公式,当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式,第i个直接测得量 的极限误差,（3-16）,ai1情况下，函数的标准差和极限误差计算公式,在多数情况下，ai1，且函数形式较简单，即,则函数的标准差为,函数的极限误差为,（3-17）,（3-18）,三角函数的随机误差计算公式,1） 正弦函数形式为:,函数随机误差公式为：,2） 余弦函数形式为:,函数随机误差公式为：,3） 正切函数形式为:,函数随机误差公式为：,4） 余弦函数形式为:,函数随机误差公式为：,解：由误差传递公式,因f1、f2的测量值的随机误差是相互独立的，所以相关系数f1f20,则有,标准差,放大率的计算值（不含随机误差）为,测量结果为,置信概率？,例 用弓高弦长法间接测量大直径D,若已知,求直径的最后结果,求解：,1. 建立函数关系式,2.计算直径D0值,4. 求直径的极限误差,3.计算直径D的系统误差,5. 给出测量结果,例用双圆球法检定高精度内锥角,已知：,测得尺寸及系统误差为,求检定结果。

各测得值的标准差为,求解：,.建立函数关系式,根据图所示的测量方法，可得函数关系为,式中,2.计算角度值,,,得,3.计算系统误差,因,根据式（），有,式中各个误差传递函数为,代入角度的系统误差式，得,4. 求角度的标准差,. 求极限误差,,取置信系数t，得,. 给出测量结果,,三、误差间的相关关系和相关系数,在函数误差及其他误差的合成计算时，各误差间的相关性对计算结果有直接影响 当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进行误差合成计算因此，正确处理误差间的相关问题，有其重要意义 例如，当ij=1时，函数随机误差别具有线性的传递关系：,（3-23）,式(323)表明，当ij 1时，函数随机误差别具有线性的传递关系1误差间的线性相关关系,误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱 联系最强时，在平均意义上，一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值此时两误差间具有确定的线性函数关系 当两误差间的线性依赖关系最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是互不相关的情况一般两误差间的关系是处于上述两种极端情况之间，既有联系而又不具有确定性关系。

此时，线性依颜关系是指在平均意义上的线性关系，即一个误差值随另一个误差值的变化具有线性关系的倾向，但两者取值又不服从确定的线性关系，而具有一定的随机性2相关系数,两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大小 若两误差与之间的相关系数为，根据概率论可知，相关系数的取值范围是1+1 当01时，两误差与正相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均地增大： 当10时，两误差与负相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均地减少；,当+1时，称为完全正相关；P1时，称为完全负相关此时两误差与之间存在着确定的线性函数关系； 当0时，两误差间无线性关系或称不相关，即一误差增大时，另一误差取值可能增大，也可能减小值得注意的是，相关系数只表示两误差的线性关系的密切程度，当很小甚至等于0时，两误差间不存性关系，但并不表示它们之间不存在其他的函数关系3.确定两误差间的相关系数的方法,确定两误差间的相关系数是比较困难的，通常可采用以下几种方法 1直接判断法 通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数如两误差不可能有联系或联系微弱时，则确定0；如一个误差增大，另一个误差成比例地增大，则确定P1。

2试验观察和简略计算法 在某些情况下可直接测量两误差的多组对应值(i，i)，用观察或简略计算法求得相关系数 3理论计算法 有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出1)观察法,作图与标准图形比对，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值2)简单计算法,简单计算法是将点阵分为四部分(上下,左右均分)，计算,简单计算法的作图,（3-25）,(3)直接计算法,按相关系数的定义直接计算,（3-26）,第二节 随机误差的合成,随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度 随机误差的合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系数和误差间的相关性影响一、标准差的合成,根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为,（3-28）,若各个误差互不相关，相关系数ij0，则有,（3-29）,式中，i,ai分别为各单项误差的标准差和对应的误差传递系数二、极限误差的合成,在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示，因此极限误差的合成也较常见 用极限误差来表示随机误差，有明确的概率意义极限误差合成时，各单项权限误差应取同一置信概率。

按方和根法合成的总极限误差为,（3-30）,式中 ai各极限误差传递系数； ij任意两误差间的相关系数,应用极限误差合成公式时，应注意：,根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成,各个置信系数 、 不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关,对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同,对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同,ij 为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定置信概率不同时的处理,一般情况下，已知的各单项极限误差的置信概率可能不相同，不能按式(330)进行极限误差合成应根据各单项误差的分布情况，引入置信系数，先将误差转换为标准差，再按极限误差合成一般的极限误差合成公式为,（3-34）,各个单项随机误差均服从正态分布时的情况,当各个单项随机误差均服从正态分布时，各个置信系数完全相同，且当各个误差互不相关，相关系数ij0，则有,（3-36）,式(336)具有十分简单的形式由于各单项误差大多服从正态分布或假设近似服从正态分布，而且它们之间常是线性无关或近似线性无关，因此式(336)是较为广泛使用的极限误差合成公式。

第三节 系统误差的合成,系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高 系统误差具有确定的变化规律，不论其变化规律如何，根据对系统误差的掌握程度，可分为已定系统误差和未定系统误差 由于两种系统误差的特征不同，其合成方法也不相同一、已定系统误差的合成,在测量过程中，若有r个单项已定系统误差，其误差值分别为l，2，，r相应的误差传递系数为a1，a2,，ar，则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为,（3-37）,在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均已消除，由于某些原因末予消除的己定系统误差也只是有限的少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差二、未定系统误差的合成,未定系统误差在测量实践中较为常见，对于某些影响较小的已定系统误差，为简化计算，也可不对其进行误差修正，而将其作未定系统误差处理，因此未定系统误差的处理是测量结果处理的重要内容之一 若测量过程中存在若干项未定系统误差，应正确地将这些未定系统误差进行合成，以求得最后结果未定系统误差的特征,未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必化费过多精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围ei的系统误差。

也就是说，在一定条件下客现存在的某一系。