高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法.doc

高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 2021高考数学所有放缩技巧及不等式证明方法〔构造法〕总的来说，高考中与不等式有关的大题〔主要是证明题〕一般常用均值不等式、构造函数后用导数工具解、裂项相消等常见放缩法来解决证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考察学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的构造，深入剖析其特征，抓住其规律进展恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：以下的所有放缩法中裂项相消法、均值不等式法放缩、二项分布法放缩以及函数放缩法最常用必须掌握，所以要先看这些方法其他的方法，如果有精力的话可以了解一下如果真的掌握不了也足以应付高考 一、裂项放缩 例1.(1)求的值; (2)求证:.解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以常用放缩技巧(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证：解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进展裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,,当时,,所以综上有例4.(2021年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:. 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,那么,否那么假设,那么由知,,因为,于是例5.,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于,即等价于而正是成立的,所以原命题成立.,,求证:.解析:所以 从而例7.,,求证:证明: ,因为 ,所以 所以二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而因为 所以 例9.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进展裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: ,例10.求证:解析:提示:函数构造形式: 当然此题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数,首先:,从而,取有,,所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有取有,,所以有,所以综上有例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:(加强命题) 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以 例14. 证明. 解析: ,然后两边取自然对数,可以得到然后运用和裂项可以得到答案)放缩思路：。

于是， 即注：题目所给条件〔〕为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，此题还可用结论来放缩： ，即 例15.(2021年厦门市质检) 函数是在上处处可导的函数,假设在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)不等式时恒成立， 求证： 解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) …… 相加后可以得到: 所以 令,有 所以 (方法二) 所以 又,所以 例16.(2021年福州市质检)函数假设 解析:设函数 ∴函数〕上单调递增，在上单调递减. ∴的最小值为，即总有 而 即 令那么 三、分式放缩 姐妹不等式:和 记忆口诀〞小者小,大者大〞 解释:看b,假设b小,那么不等号是小于号,反之.例19. 姐妹不等式:和也可以表示成为和解析: 利用假分数的一个性质可得 即 例20.证明:解析: 运用两次次分式放缩: (加1) (加2) 相乘,可以得到: 所以有四、分类放缩 例21.求证: 解析: 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系中, 轴正半轴上的点列与曲线〔≥0〕上的点列满足，直线在x轴上的截距为.点的横坐标为,.(1)证明>>4，; (2)证明有，使得对都有<. 解析:(1) 依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 (2)证明：设，那么 设，那么当时，。

所以，取，对都有：故有<成立 例23.(2007年泉州市高三质检) 函数，假设的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].假设数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论 解析:首先求出,∵∴,∵,,…,故当时,,因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数，那么当时,必有.故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. 例24.(2021年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:. 解析:容易得到,所以,要证只要证,因为,所以原命题得证.五、迭代放缩 例25. ,求证:当时, 解析:通过迭代的方法得到,然后相加就可以得到结论 例26. 设,求证:对任意的正整数k,假设k≥n恒有:|Sn+k－Sn|< 解析: 又 所以 六、借助数列递推关系 例27.求证: 解析: 设那么,从而,相加后就可以得到所以 例28. 求证: 解析: 设那么,从而,相加后就可以得到 例29. 假设,求证: 解析: 所以就有 七、分类讨论 例30.数列的前项和满足证明：对任意的整数，有 解析:容易得到, 由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论：当且为奇数时 〔减项放缩〕，于是 ①当且为偶数时②当且为奇数时〔添项放缩〕由①知由①②得证。

八、线性规划型放缩 例31. 设函数.假设对一切，，求的最大值 解析:由知 即 由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为因此对一切，的充要条件是， 即，满足约束条件，　　　由线性规划得，的最大值为5． 九、均值不等式放缩 例32.设求证 解析: 此数列的通项为，，即注：①应注意把握放缩的“度〞：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，假设放成那么得，就放过“度〞了！ ②根据所证不等式的构造特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中，等的各式及其变式公式均可供选用 例33.函数，假设，且在[0，1]上的最小值为，求证：解析: 例34.为正数，且，试证：对每一个，.解析: 由得，又，故，而，令，那么=，因为，倒序相加得=，而，那么=，所以，即对每一个，. 例35.求证解析: 不等式左=，原结论成立. 例36.,求证: 解析: 经过倒序相乘,就可以得到,求证: 解析: 其中:,因为 所以 从而,所以.,求证:. 解析: 因为当时,,所以,所以,当且仅当时取到等号. 所以 所以所以,求证:. 解析:. 例40.函数f(x)=x2－(－1)k2lnx(k∈N*).k是奇数, n∈N*时,求证: [f’(x)]n－2n－1f’(xn)≥2n(2n－2). 解析: 由得，(1)当n=1时，左式=右式=0.∴不等式成立.(2), 左式= 令 由倒序相加法得： ， 所以 所以综上，当k是奇数，时，命题成立 例41. 〔2007年东北三校〕函数 〔1〕求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围； 〔2〕令求证： ★例42. (2021年江西高考试题)函数,.对任意正数,证明。