九年级数学上册 24 一元二次方程小结与复习课件 （新版）冀教版.ppt

知识梳理考点解析复习归纳课后作业第二十四章 解一元二次方程 小结与复习知识梳理知识梳理知识结构图实际问题 实际问题的答案数学问题数学问题的解降次设未知数，列方程检 验解 方 程配方法公式法分解因式法回顾与思考 问题1 比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能写出各种方程的一般形式吗？所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程．一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为1 ．一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为2 ．二元一次方程的未知数的个数为2个，次数为1．一元一次方程的一般形式为： ax + b = 0 ( a≠0 )一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )二元一次方程的一般形式为： ax + by = 0 ( a≠0, b≠0 ) 问题2 一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？体会降次在解一元二次方程中的作用．配方法、公式法和因式分解法．配方法、公式法适用于所有的一元二次方程因式分解法适用于某些一元二次方程 总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次思 想化为一次方程 得到一元二次方程的解 降次解一元一次方程 问题2求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方程有实数根？ 求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )，都可以通过配方转化为当b2－4ac≥0时，一元二次方程 有实数根．ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )考点解析考点解析一元二次方程根的概念一 例1若(a-3) +4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为(　　)A.3　　　B.-3　　　C.±3　　　D.无法确定【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-7=2且a-3≠0,解得a=-3.典例精析BB 例2 下列方程中,一定是一元二次方程的是(　　)A.ax2+bx+c=0　B. x2=0C.3x2+2y- =0　D. x2+ -5=0【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.一元二次方程的解法二 例1 解方程x2-2x-1=0.【自主解答】移项得:x2-2x=1,配方得:x2-2x+1=2,即(x-1)2=2,开方得:x-1=± ,x=1± ,所以x1=1+ , x2=1- .典例精析【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1；（（a-b)2与（（a+b)2 要准确区分；（（2））求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方；（（2））先求出方程x2﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长．例2 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ ） A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9(2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（　）　A．．13 B．． 15 C．．18 D．．13或或18AA一元二次方程根的判别式及根与系数的关系三 例1 若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是(　　)A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断【自主解答】选A.Δ=16+4k= (5k+20),∵5k+20<0,∴Δ<0,∴没有实数根.典例精析A 例2 已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正确的是(　　)A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.B 例3 关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是(　　)A.1　 B.-1　 C.1或-1　D.2【解析】选B.由题意:x1+x2= , x1x2= ,因为x1-x1x2+x2=1-a,所以 - =1-a,即 =1-a,解得a1=1,a2=-1.当a=1时,原方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以a=-1.B一元二次方程的应用四某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= t2+ t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.典例精析(1)甲运动4s后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?【自主解答】(1)当t=4时,l= ×42+ ×4=14(cm).答:甲运动4s后的路程是14cm.(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得: +4m=21,解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: +4n=21×3,解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去).答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.一元二次方程解应用题的六个步骤1.审——审清题意,找出等量关系.2.设——直接设未知数或间接设未知数.3.列——根据等量关系列出一元二次方程.4.解——解方程,得出未知数的值.5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合实际情况.6.答——完整地写出答案,注意单位.归纳复习归纳复习归纳实际问题设未知数，列方程数学问题解方程配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法降次数学问题的解检 验实际问题的答案(1)直接开平方法x2=b(b 0)(2)因式分解法1、提取公因式法2、平方差公式3、完全平方公式(3) 配方法(4)公式法当二次项系数为1的时候，方程两边同加上一次项系数一半的平方当b2-4ac＜0时，方程没有实数根一元二次方程的解法适应于任何一个一元二次方程适应于任何一个一元二次方程适应于左边能分解为两个一次式的积，右边是0的方程当 时适应于没有一次项的一元二次方程1.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　） A．．x（（x+1））=28 B．．x（（x﹣1））=28 C．．x（（x+1））=28 D．．x（（x﹣1））=282.一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　　）（　　）A．．x1=1，，x2=2 B．．x1=1，，x2=﹣2C．．x1=﹣1，，x2=﹣2 D．．x1=﹣1，，x2=2BD课后作业课后作业4.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n= . 3.若一元二次方程ax2=b（（ab＞＞0））的两个根分别是m+1与2m﹣4，则 =　　．4105. 2013年，某市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2015年的均价为每平方米3240元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2016年的均价仍然下调相同的百分率，李老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金10万元，可以在银行贷款20万元，李老师的愿望能否实现（房价每平方米按照均价计算）？解：（1）设平均每年下调的百分率为x,根据题意得 4000（（1-x)2=3240 解得 x1= 0.1=10%; x2=1.9(舍去）； （2）购房所需资金=100 ×3240 ×（1-10%）=291600元 =29.16万元<30万元.所以李老师的愿望能实现.。