山东高考数学一轮必备 12.1《随机事件的概率》考情分析学案.doc

12.1 随机事件的概率考情分析1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及概率与频率的区别2.了解两个互斥事件的概率加法公式考纲解读：1.随机事件的概率和互斥事件有一个发生的概率加法公式是高考的重点和热点2.随机事件的概率常与排列、组合等知识相结合多以选择题或填空题的形式进行考查3.互斥事件的概率加法 公式常出现在与分布列期望有关的解答题的运算步骤中.基础知识1．随机事件和确定事件(1)在条件 S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必然事件．(2)在条件 S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A， B， C…表示．2．频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝ 为事件 A 出现的频率．nAn(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率．3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若 A∩ B 为不可能事件( A∩ B＝∅)，则称事件 A 与事件 B 互斥，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生．(2)对立事件：若 A∩ B 为不可能事件，而 A∪ B 为必然事件，那么事件 A 与事件 B 互为对立事件，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤ P(A)≤1.(2)必然事件的概率： P(A)＝1.(3)不可能事件的概率： P(A)＝0.(4)互斥事件的概率加法公式：① P(A∪ B)＝ P(A)＋ P(B)(A， B 互斥)．② P(A1∪ A2∪…∪ An)＝ P(A1)＋ P(A2)＋…＋ P(An)(A1， A2，…， An彼此互斥)．(5)对立事件的概率： P( )＝1－ P(A)．A注意事项1.互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)＝1－ P( )，即运用 逆向思维A(正难则反)，特别是“至多” 、 “至少”型题目，用间接法就显得比较简便．题型一　互斥事件与对立事件的判定【例 1】甲、乙两人下棋，和棋的概率为 ，乙获胜的概率为 ，则下列说法正确的是(　　)12 13A. 甲获胜的概率是 　　 B. 甲不输的概率是16 12C. 乙输了的概率是 　　 D. 乙不输的概率是23 12答案：A解析：“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是P＝1－ － ＝ ；12 13 16设事件 A 为“甲不输” ，则 A 是“甲胜” 、 “和棋”这两个互斥事件的并事件，所以 P(A)＝ ＋ ＝ (或设事件 A 为“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件，所以 P(A)＝1－ ＝ .16 12 23 13 23【变式 1】 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则(　　)．A． A 与 B 是互斥而非对立事件B． A 与 B 是对立事件C． B 与 C 是互斥而非对立事件D． B 与 C 是对 立事件解析　根据互斥事件与对立事件的意义作答， A∩ B＝{出现点数 1 或 3}，事件 A， B 不互斥更不对立； B∩ C＝∅， B∪ C＝ Ω ，故事件 B， C 是对立事件．答案　D题型二　随机事件的概率与频率【例 2】一组数据 3,4,5， s， t 的平均数是 4，这组数据的中位数是 m，对于任意实数s， t，从 3,4,5， s， t， m 这组数据中任取一个，取到数字 4的概率的最大值为(　　)A. 　　 B. 16 13C. 　　 D. 12 23答案：D解析：由 3,4,5， s， t 的平均数是 4 可得 ＝4，易知 m＝4，所以当 s＝ t＝4 时，s＋ t2取到数字 4 的概率最大，且为 P＝ ＝ .46 23【变式 2】 某市统计的 2008～2011 年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人)见下表：时间 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年新生婴儿数 21 840 23 070 20 094 19 982男婴数 11 453 12 031 10 297 10 242(1)试计算男婴各年的出生频率(精确到 0.001)；(2)该市男婴出生的概率约是多少？解　(1)2008 年男婴出生的频率为 fn(A)＝ ＝ ≈0.524.nAn 11 45321 840同理可求得 2009 年、2010 年和 2011 年男婴出生的频率分别约为 0.521、0.512、0.513.(2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在 0.51～0.53 之间，所以该市男婴出生的概率约为 0.52.题型三　互斥事件、对立事件的概率【例 3】据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为 0,1,2 的概率分别为0.4,0.5,0.1.(1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率；(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率．解　法一　(1)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”，事件 B 表示“一个月内被投诉的次数为 1”，∴ P(A＋ B)＝ P(A)＋ P(B)＝0. 4＋0.5＝0.9.(2)设事件 Ai表示“第 i 个月被投诉的次数为 0”，事件 Bi表示“第 i 个月被投诉的次数为1”，事件 Ci表示“第 i 个月被投诉的次数为 2”，事件 D 表示“两个月内共被投诉 2次” ．∴ P(Ai)＝0.4， P(Bi)＝0.5， P(Ci)＝0.1( i＝1,2)，∵两个月中，一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为 P(A1C2＋ A2C1)，一、二月份均被投诉 1 次的概率为 P(B1B2)，∴ P(D)＝ P(A1C2＋ A2C1)＋ P(B1B2)＝ P(A1C2)＋ P(A2C1)＋ P(B1B2)，由事件的独立性得P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.法二　(1)设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次” ，事件 B 表示“一个月内被投诉的次数不超过 1 次” ．∵ P(A)＝0.1，∴ P(B)＝1－ P(A)＝1－0.1＝0.9.(2)同法一．【变式 3】 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得，1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、 B、 C，求：(1)P(A)， P(B)， P(C)；(2)1 张 奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解　(1) P(A)＝ ， P(B)＝ ＝ ， P(C)＝ ＝ .11 000 101 000 1100 501 000 120故事件 A， B， C 的概率分别为 ， ， .11 000 1100 120(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则M＝ A∪ B∪ C.∵ A、 B、 C 两两互斥，∴ P(M)＝ P(A∪ B∪ C)＝ P(A)＋ P(B)＋ P(C)＝ ＝ .1＋ 10＋ 501 000 611 000故 1 张奖券的中奖概率为 .611 000(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴ P(N)＝1－ P(A∪ B)＝1－ ＝ .(11 000＋ 1100) 9891 000故 1 张奖券不中 特等奖且不中一等奖的概率为 .　　9891 000重难点突破【例 4】对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这 M 名学生参加社区服务的 次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图，如下：分组 频数 频率[10,15) 10 0.25[15,20) 24 n[20,25) m p[25,30] 2 0.05合计 M 1(1)求出表中 M， p 及图中 a 的值；(2)若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 的学生中任选 2 人，求至多有 1人参加社区服务的次数在区间[25,30]内的概率．解：(1)由分组[10,15)内的频数是 10，频率是 0.25 知， ＝0.25，所以 M＝40.10M因为频数之和为 40，所以 10＋24＋ m＋2＝40，m＝4， p＝ ＝ ＝0.10.mM 440因为 a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以 a＝ ＝0.12.2440×5(2)因为该校高三学生有 240 人，分组[10,15)内的频率是 0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 240×0.25＝60 人．(3)这个样本参加社会服务的次数不少于 20 次的学生共有 m＋2＝6 人，设在区间[20,25)内的人为{ a1， a2， a3， a4}，在区间[25,30)内的人为{ b1， b2}，则任选 2 人共有(a1， a2)，( a1， a3)，( a1， a4)，( a1， b1)，( a1， b2)，( a2， a3)，( a2， a4)，( a2， b1)，(a2， b2)，( a3， a4)，( a3， b1)，( a3， b2)，( a4， b1)，( a4， b2)，( b1， b2)15 种情况，而两人都在[25,30)内只能是( b1， b2)一种，所以所求概率为 P＝1－ ＝ .115 1415巩固提高1.同时随机掷两颗骰子，则至少有一颗骰子向上的点数小于 4 的概率为(　　)A. 　　　　　　　　 B. 19 89C. 　　 D. 14 34答案：D解析：共有 36 种情况，其中至少有一颗骰子向上的点数小于 4 有 27 种情况，所以所求概率为 ＝ .2736 342.]在第 3、6、16 路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在 5 分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘 3 路或 6 路公共汽车到厂里，已知 3 路车、6 路车在 5 分钟之内到此车站的概率分别为 0.20 和 0.60，则该乘客在 5 分钟内能乘上所需要的车的概率为(　　)A. 0.20　　　　　　　 B. 0.60C. 0.80　　 D. 0.12答案：C解析：令“能上车”记为事件 A，则 3 路或 6 路车有一辆路过即事件发生，故 P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.3.先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是(　　)A. 　　 B. 18 38C. 　　 D. 58 78答案：D解析：至少一次正面朝上的对立事件的概率为 ，故 P＝1－ ＝ .18 18 784.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出。