奥数题：数列的分组.pdf

十四数列的分组 (B) 年级班姓名得分一、填空题 1. 有一列由三个数组成的数组, 它们依次是(1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);第 99 个数组内三个数的和是_. 2. 有数组 :(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27), , 第 100 组的三个数之和是_. 3. 有数组 1,2,3,4,2,4,6,8,3,6,9,12, , 那么第 100个数组的四个数的和是 _. 4. 将自然数按下面的规律分组:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12),(13, 14,15,16,17,18,19,20), 第 1991组的第一个数和最后一个数各是_. 5. 将奇数按下列方式分组 : (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),. (1) 第 15 组中第一个数是 _; (2) 第 15 组中所有数的和是 _; (3) 999位于第 _组第_号. 6. 自然数列 1,2,3, ,n, , 它的第n组含有 2n-1 个数, 第 10组中各数的和是_. 7. 给定以下数列 : 11,21,22,31,32,33,41,42,43,44, , (1)2923是第_项; (2) 第 244 项是_; (3) 前 30 项之和是 _. 8. 在以下数列 : 11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,24, 中,197居于第 _项. 9. 设自然数按下图的格式排列: 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 (1) 200所在的位置是第 _行, 第_列; (2) 第 10 行第 10个数是 _. 10. 紧接着 1989 后面写一串数字 , 写下的数字都是它们前面两个数字之积的个位数 , 例如 89=72,在 9 后面写 2,2 9=18,在 2 后面写 8, , 这样得到一串数字, 从 1 开始, 第 1989 个数字是 _. 二、解答题11. 将 1 到 1989 的自然数从头开始 , 依次第四个数一组 , 第一组各数间添上“+”号 , 第二组各数间添上“一”号, 以后各组以“ +”, “一”号相间隔 , 列成一个算式 : 1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13- . 问: (1) 1989前添什么号 ? (2) 求这个算式的结果 . 12. 把由 1 开始的自然数依次写下来: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14. 重新分组 , 按三个数字为一组 : 123,456,789,101,112,131, 问第 10 个数是几 ? 13. 根据下图回答 : (1) 第一行的第 8 个数是几 ? (2) 第五行第六列上的数是几? (3) 200的位置在哪一格 ( 说出所在行和列的序号 )? 14. 已知自然数组成的数列A: 1,2,3,9,10,11,12, 把这个数列的 10 和大于 10 的数, 全部用逗号隔成一位数, 做成一个新的数列B : 1,2,3,9,1,0,1,1,1,2,. 问: (1) A中 100这个数的个位上的“ 0”在 B中是第几个数 ? (2) B 中第 100个数是几 ?这个数在 A中的哪个数内 ?是它的哪一位数 ? (3) 到 B的第 100个数为止 , “3”这个数字出现了几次? (4) B 中前 100个数的和是多少 ? 答案答 案: 1. 解法一这串数组 , 各组数的和是16,32,48, . 各组数的和分别是按16 的 1 倍,2 倍,3 倍, 的规律递增 . 因此, 第 99 个数组的和是1699=16(100-1)=1600-16=1584. 解法二通过观察可以发现 , 每一组括号中的三个数的关系是: 第一个数表示组数 , 第二个数是第一个数的5 倍, 第三个数是第一个数的10 倍. 因此 , 第 99组内三个数应为 :(99,99 5,99 10). 所以 , 第 99 个数组的和是 : 99+995+9910=99(1+5+10) =9916 =1584 2. 解法一通过观察可以发现 , 每一组括号中三个数的关系是: 第一个数表示组数 , 第二个数是第一个数自乘的积, 第三个数是第一、二两数的乘积, 因此,第 100 组中的三个数应分别是 : 第一个数是 100; 第二个数是 100100=10000; 第三个数是 10010000=1000000, 所以, 第 100 组的三个数的和为 : 100+10000+1000000=1010100. 解法二通过观察可发现每一组的三个数的和可以用通项公式32nnnan表示,n=1,2,3, . 因此, 第 100 组的三个数之和是 : 101010010010010032100a. 3. 解法一这串数组 , 各组数的和是 10,20,30,40,. 因此, 第 100个数中的四个数的和是10010=1000. 解法二通过观察可以发现 , 每一组数括号中四个数的关系是: 第一个数表示组数 , 第二个数是第一个数的2 倍, 第三个数是第一个的3倍, 第四个数是第一个数的 4 倍. 因此, 第 100 个数组内的四个数分别是:(100,200,300,400). 所以, 第 100 个数组的四个数的和是 :100+200+300+400=1000. 4. 仔细观察找出这些自然数分组的规律, 再找出每一组的第一个数与该组的序数之间的关系 . 第 1 组的第 1 个数是 :1=(1-1)1+1; 第 2 组的第 1 个数是 :3=(2-1)2+1; 第 3 组的第 1 个数是 :7=(3-1)3+1; 第 4 组的第 1 个数是 :13=(4-1)4+1; 根 据 这 一 规 律 , 可 求 出 第1991 组 的 第1个 数 是 :(1991-1)1991+1=3962091. 第 1992 组的第一个数是 : (1992-1)1992+1=3966073. 因此, 第 1991 组的最后一个数是 :3966073-1=3966072. 5. (1)从第 1组到第 14 组的奇数有 1+2+3+14=21514=105(个). 因此, 第 15 组最初一个数是第106 个奇数 :2 106-1=211. (2)在第 15 组中的数是以211 为首项 , 公差为 2, 项数等于 15 的等差数列 ,其和是 15211+214152=3375. (3) 设 999位于第n组, 因 3132=992,3233=1056,所以n=32, 第 32组最初一个数是 :2 (1+2+31)-1+2=993. 因此,999 是第 32 组的第 4 号数. 6. 第 1 组到第 9 组共有自然数 :1+3+5+(29-1)=29)117(=18(个). 因此, 第 10 组第 1号数是 82,第 10 组有 210-1=19 个数, 所以第 10 组各数之和为1729219)10082(. 7. (1)以分母相同的分数分组, 并记分母为n的分数属于第n组, 从而2913是第 29 组的第 13 号数, 第n组由n个分数组成 , 从第 1 组到第 28 组有 1+2+3+28=22928=406 个分数 , 因此2913位于第 406+13=419项. (2) 因 2120=420,2221=462,2322=506,故第 244项在第 22组, 前 21组有22221=231个分数 , 从而第 244 项是居于第 22 组中的第 13 号数, 是2213. (3) 前 30 项之和为 1+21(1+2)+31(1+2+3)+ +71(1+2+7)+81+82 =1+252423+28+83 =21(2+3+4+8)+83 =2127) 82(+83 =8143 =1787. 8. 将分子与分母之和相等者归于同一组: )11(,)21,12(,)31,22,13(,)41,32,23,14(, ，其中197在 7+19-1=25 组, 是第 19 号数.1 至 24 组共有分数 1+2+3+24=22524=300(个). 所以197在原数列中是第 300+19=319项. 9. 注意到第一列是完全平方数: 1,4,9,16,25,. 按(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),分组, 则 200 在 196 与 225 之间, 属第 15 组, 倒数第 4 个数, 在第 4行、第 15 列上. 第 10 行第 10 个数是位于第 10 行第 10列上的数 91. 10. 写出前面几个数字 : 198928688428688428, 1989后面的六位数字出现循环. (1989-4)6=3305, 所以第 1989 位数字是 8. 11. 19898=2485, 所以 1989前添的是“ -”号. 观察到, 从第 3 个数起 ,每 8 个数之和为 0: 3+4-5-6-7-8+9+10=0, 11+12-13-14-15-16+17+18=0, (1989-2)8=2483, 所以, 这个算式的结果是 : 1+2+1987+1988-1989=1989. 12. 1到 9 有 9 个数字 ,10 到 19 有 20个数字 , 第 10 个三位数是 192. 13. (1)所有自然数按自右上至左下以斜线分组 : (1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10), 第n组第 1 号数是第一行的第n个数 . 从第 1 组到第(n-1) 组有: 1+2+3+(n-1)=2) 1(nn个数, 从而第n组第 1 号数是2)1(nn+1.因此, 第 1 行第 8 个数是287+1=29. (2)一般地 , 自上至下第m行, 自左至右第n列上的数在第 (m+n-1) 组中, 第五行第六列上的数在第10 组中, 第 10 组第 1 号数是2109+1=46,第 10组在第五行的数是 46+5-1=50. (3)19 20=380,2021=420,故 200 在第 20组中, 第 20 组第一个数是22019+1=191,因此数 200 在第 10 行第 11列的位置上 . 14. (1)数 100之前有数字 9+290=189(个), 所以数 100的个位上的“0”在B 中是第 189+3=192个数. (2) B 中第 9+240=89个数是 A中数 49的“9”:4950515253545556 , B中第 100个数是 A中数 55 的十位数上的“ 5”. (3) 到 B的第 100个数为止, 数字“3”一共出现了 1+1+1+11+1+1=16( 次). (4) B 中前 100个数字之和为 (1+2+9)5+10(1+2+3+4)+65+(0+1+2+3+4) =225+100+30+10 =365. 。